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टॉलेमी का प्रमेय और त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

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Claudius Ptolemy

(यह छवि केवल उदाहरण के लिए बनाई गई है)

टॉलेमी का प्रमेय त्रिकोणमिति में योग और अंतर सूत्रों के लिए एक सुंदर ज्यामितीय प्रमाण प्रदान करता है। एक चतुर्भुज को एक वृत्त में इस प्रकार अंकित करके कि उसकी एक भुजा व्यास हो, भुजाओं की लंबाई को अंतर्निहित कोणों के साइन और कोसाइन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। प्रमेय [latex]AC cdot BD = AB cdot CD + BC cdot DA[/latex] को सीधे लागू करने पर [latex]sin(alpha + beta) = sinalphacosbeta + cosalphasinbeta[/latex] जैसी सर्वसमिकाएँ प्राप्त होती हैं।

टॉलेमी के प्रमेय का ऐतिहासिक महत्व त्रिकोणमिति के विकास से गहराई से जुड़ा हुआ है। टॉलेमी का लक्ष्य ब्रह्मांड का एक गणितीय मॉडल तैयार करना था, जिसके लिए खगोलीय पिंडों की स्थिति की गणना करने के लिए एक उपकरण की आवश्यकता थी। यह उपकरण जीवाओं की सारणी थी, जिसमें एक निश्चित त्रिज्या वाले वृत्त में दिए गए कोण पर बनने वाली जीवा की लंबाई सूचीबद्ध थी। जीवा फलन, crd(θ), आधुनिक साइन फलन से इस प्रकार संबंधित है: [latex]sin(theta) = frac{text{crd}(2theta)}{2R[/latex], जहाँ R वृत्त की त्रिज्या है।

To derive the sum and difference formulas, one can construct a cyclic quadrilateral ABCD where the diagonal AC is a diameter of the circumcircle, which we can set to have length 1 for simplicity. Let [latex]\angle CAD = \alpha[/latex] and [latex]\angle CAB = \beta[/latex]. Because angles subtended by a diameter are right angles, [latex]\triangle ADC[/latex] and [latex]\triangle ABC[/latex] are right-angled triangles. The side lengths can be expressed trigonometrically: [latex]CD = \sin\alpha[/latex], [latex]AD = \cos\alpha[/latex], [latex]BC = \sin\beta[/latex], and [latex]AB = \cos\beta[/latex]. The angle [latex]\angle DAB = \alpha+\beta[/latex]. Using the law of sines in [latex]\triangle DAB[/latex], the other diagonal [latex]BD = \sin(\alpha+\beta)[/latex]. Plugging these into Ptolemy’s theorem [latex]AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot DA[/latex] gives [latex]1 \cdot \sin(\alpha+\beta) = (\cos\beta)(\sin\alpha) + (\sin\beta)(\cos\alpha)[/latex], which is the angle addition formula for sine. Similar constructions yield the other sum and difference identities, forming the bedrock of trigonometry.

एल्गोरिदम, डिज़ाइन सिद्धांत, इंजीनियरिंग, ज्यामिति, गणित, भौतिकी, सांख्यिकीय विश्लेषण

UNESCO Nomenclature: 1209

गणितीय विश्लेषण

Type

सार प्रणाली

व्यवधान

मूलभूत

उपयोग

व्यापक उपयोग

शगुन

टॉलेमी का प्रमेय
साइन और कोसाइन (या कॉर्ड फ़ंक्शन) की परिभाषाएँ
वृत्त में अंतर्निहित कोणों के गुणधर्म
वृत्त में समकोण त्रिभुजों के गुणधर्म

आवेदन

त्रिकोणमिति
खगोल विज्ञान (कॉर्ड सारणी का ऐतिहासिक आधार)
सिग्नल प्रोसेसिंग (फूरियर विश्लेषण के माध्यम से जो इन सर्वसमताओं पर निर्भर करता है)
तरंगों और दोलनों से संबंधित भौतिकी और इंजीनियरिंग गणनाएँ
रोटेशन मैट्रिक्स के लिए कंप्यूटर ग्राफिक्स

पेटेंट:

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संबंधित विषय: त्रिकोणमिति, कोण योग सूत्र, साइन, कोसाइन, टॉलेमी का प्रमेय, जीवाओं की सारणी, अल्मागेस्ट, चक्रीय चतुर्भुज, ज्यामितीय प्रमाण, खगोल विज्ञान।

ऐतिहासिक संदर्भ

Euclid of Alexandria deriving Pythagorean triples in an ancient study.

पाइथागोरस त्रिक

पाइथागोरस त्रिक में तीन धनात्मक पूर्णांक a, b और c होते हैं, इस प्रकार कि [latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex]। इसका एक प्रसिद्ध उदाहरण (3, 4, 5) है। यूक्लिड का सूत्र इन त्रिकों को उत्पन्न करने की एक मूलभूत विधि है। किन्हीं भी दो धनात्मक पूर्णांक m और n के लिए, जहाँ [latex]m > n[/latex], सूत्र [latex]a = m^2 - n^2[/latex], [latex]b = 2mn[/latex], [latex]c = m^2 + n^2[/latex] एक पाइथागोरस त्रिक उत्पन्न करता है।

Five Platonic solids: tetrahedron, cube, octahedron, dodecahedron, icosahedron in geometry.

पाँच प्लेटोनिक ठोस

प्लेटोनिक ठोस पाँच उत्तल नियमित बहुफलक हैं: एक नियमित बहुफलक में सर्वांगसम नियमित बहुभुजीय फलक होते हैं और प्रत्येक शीर्ष पर समान संख्या में फलक मिलते हैं। ये पाँच ठोस हैं: चतुष्फलक (4 फलक), घन (6 फलक), अष्टफलक (8 फलक), द्वादशफलक (12 फलक) और विंशफलक (20 फलक)। इनकी समरूपता और गुणों का अध्ययन प्राचीन काल से किया जा रहा है।

Stone tablet inscribed with the proof of the irrationality of the square root of 2.

2 के वर्गमूल की अपरिमेयता

2 का वर्गमूल एक अपरिमेय संख्या है, जिसका अर्थ है कि इसे दो पूर्णांकों के अनुपात [latex]p/q[/latex] के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। इसका प्रचलित प्रमाण, जिसे अक्सर पाइथागोरसवादियों से जोड़ा जाता है, विरोधाभास द्वारा सिद्ध किया जाता है: यह सबसे सरल रूप में [latex]√2 = p/q[/latex] मानता है, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि [latex]p[/latex] और [latex]q[/latex] दोनों सम संख्याएँ होनी चाहिए, जो प्रारंभिक धारणा का खंडन करता है।

टॉलेमी का प्रमेय और त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली

कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए एक बीजगणितीय मॉडल प्रदान करती है। यह अंतरिक्ष में किसी बिंदु की स्थिति को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए एक या अधिक संख्याओं, या निर्देशांकों का उपयोग करती है। एक समतल में, दो लंबवत रेखाओं (x-अक्ष और y-अक्ष) का उपयोग किया जाता है, जिससे ज्यामितीय आकृतियों को बीजगणितीय समीकरणों द्वारा वर्णित किया जा सकता है। बीजगणित और ज्यामिति के इस संयोजन को विश्लेषणात्मक ज्यामिति के रूप में जाना जाता है।

गणितज्ञ द्वारा गणितीय अनुवर्तन का उपयोग करके गुणों को सिद्ध करते हुए अध्ययन कक्ष।.

गणितीय प्रेरण द्वारा प्रमाण

गणितीय प्रेरण एक ऐसी तकनीक है जिसका उपयोग यह सिद्ध करने के लिए किया जाता है कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए एक गुणधर्म P(n) सत्य है। इसमें दो चरण शामिल हैं: आधार चरण, जिसमें P(0) या P(1) सत्य सिद्ध किया जाता है, और प्रेरण चरण, जिसमें यह सिद्ध किया जाता है कि यदि किसी प्राकृतिक संख्या k के लिए P(k) सत्य है (प्रेरण परिकल्पना), तो P(k+1) भी सत्य होगा।

जीन ले रोंड डालेम्बर्ट एक ऐतिहासिक कार्यालयीन परिवेश में तरंग समीकरण का विकास करते हुए।.

तरंग समीकरण (भौतिकी)

यह द्वितीय क्रम का रैखिक अतिपरवलयिक आंशिक अवकल समीकरण है जो विभिन्न प्रकार की तरंगों के प्रसार को नियंत्रित करता है। इसे सरलतम रूप में [latex]frac{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 nabla^2 u[/latex] के रूप में लिखा जाता है, जहाँ [latex]u(vec{x},t)[/latex] तरंग का आयाम है, [latex]c[/latex] तरंग की गति है, और [latex]nabla^2[/latex] लाप्लास प्रवर्तक है। यह कंपनशील तार, ध्वनि तरंगें और प्रकाश तरंगें जैसी घटनाओं का प्रतिरूपण करता है।

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Stone carving of Triangle Angle Sum Theorem illustrating angle measures in Euclidean geometry.

त्रिभुज कोण योग प्रमेय

यूक्लिडियन ज्यामिति का एक मूलभूत प्रमेय यह बताता है कि किसी भी त्रिभुज के तीनों आंतरिक कोणों का योग हमेशा दो समकोण, यानी 180 डिग्री के बराबर होता है। यह गुणधर्म, [latex]alpha + beta + gamma = 180^circ[/latex], समांतर अभिधारणा का प्रत्यक्ष परिणाम है और एक समतल, यूक्लिडियन तल में स्थित सभी त्रिभुजों के लिए, उनके आकार या आकृति की परवाह किए बिना, सत्य है।

Scholar writing direct proof in ancient library, mathematical logic discipline.

प्रत्यक्ष प्रमाण (गणित)

प्रत्यक्ष प्रमाण किसी दिए गए कथन की सत्यता को स्थापित तथ्यों, आमतौर पर स्वयंसिद्धों, परिभाषाओं और पूर्व सिद्ध प्रमेयों के सीधे संयोजन द्वारा सिद्ध करने की विधि है। किसी सशर्त कथन [latex]p rightarrow q[/latex] को सिद्ध करने के लिए, यह मान लिया जाता है कि [latex]p[/latex] सत्य है और अनुमान के नियमों का उपयोग करके यह दिखाया जाता है कि [latex]q[/latex] भी सत्य होना चाहिए।

Scholar engaged in proof by contradiction in an ancient library setting.

विरोधाभास द्वारा प्रमाण (बेतुकेपन की स्थिति तक सीमित करना)

विरोधाभास द्वारा प्रमाण, या रिडक्टियो एड एब्सर्डम, अप्रत्यक्ष प्रमाण का एक रूप है। यह किसी कथन की सत्यता को यह दर्शाकर स्थापित करता है कि किसी कथन को असत्य मानने से तार्किक विरोधाभास उत्पन्न होता है। किसी कथन p को सिद्ध करने के लिए, उसके निषेध, ऋणात्मक p को माना जाता है और q और ऋणात्मक q जैसे विरोधाभास को निकाला जाता है, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि p सत्य होना चाहिए।

पाइथागोरस प्रमेय

पाइथागोरस प्रमेय यूक्लिड ज्यामिति में समकोण त्रिभुज की तीनों भुजाओं के बीच एक मूलभूत संबंध है। यह बताता है कि जिस वर्ग की भुजा कर्ण (समकोण के सामने वाली भुजा) होती है, उसका क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं पर बने वर्गों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है। सूत्र को [latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex] के रूप में व्यक्त किया जाता है।

ऐतिहासिक अध्ययन संदर्भ में ज्यामितीय आकृतियों के साथ कैवलिएरी सिद्धांत का गणितीय व्युत्क्रमण।.

कैवलियरी का सिद्धांत

अविभाज्य विधि के नाम से भी जाना जाने वाला यह सिद्धांत कहता है कि यदि दो समांतर तलों के बीच स्थित दो ठोसों में यह गुण हो कि उन दोनों तलों के समांतर प्रत्येक तल उन्हें समान क्षेत्रफल वाले अनुप्रस्थ काटों से काटता है, तो दोनों ठोसों का आयतन बराबर होता है। यह कैलकुलस के बिना जटिल आकृतियों के आयतन की गणना करने की एक शक्तिशाली विधि प्रदान करता है।

यूक्लिडियन दूरी

पाइथागोरस प्रमेय कार्तीय निर्देशांकों में दूरी सूत्र का आधार प्रदान करता है। एक समतल में दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी d को √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² द्वारा दर्शाया जाता है। यह सूत्र समकोण त्रिभुज पर प्रमेय का सीधा अनुप्रयोग है, जिसकी भुजाएँ x और y निर्देशांकों का अंतर होती हैं।

कोनिग्सबर्ग पुल समस्या का मानचित्र जो यूलर के ग्राफ सिद्धांत की नींव को दर्शाता है।.

कोनिग्सबर्ग के सात पुल

यह गणित में ऐतिहासिक रूप से उल्लेखनीय समस्या है। लियोनहार्ड यूलर द्वारा 1736 में इसका नकारात्मक समाधान ग्राफ सिद्धांत की नींव रखने और टोपोलॉजी के विचार का पूर्वाभास देने वाला साबित हुआ। इस समस्या में पूछा गया था कि क्या कोनिग्सबर्ग शहर के सातों पुलों को बिना वापस लौटे एक ही यात्रा में पार किया जा सकता है, और यात्रा उसी भूभाग पर समाप्त हो जहाँ से शुरू हुई थी।

यूलर का बहुफलक सूत्र

टोपोलॉजी और ज्यामिति में एक मूलभूत प्रमेय यह बताता है कि किसी भी उत्तल बहुफलक के लिए, शीर्षों (V), किनारों (E) और फलकों (F) की संख्या के बीच संबंध सूत्र [latex]V - E + F = 2[/latex] द्वारा निर्धारित होता है। यह मान, 2, गोले का यूलर अभिलक्षण है, जो बहुफलक के विशिष्ट आकार से स्वतंत्र एक गहन टोपोलॉजिकल गुण को प्रकट करता है।

(यदि तिथि अज्ञात है या प्रासंगिक नहीं है, उदाहरण के लिए "द्रव यांत्रिकी", तो इसके उल्लेखनीय उद्भव का एक अनुमानित आंकड़ा प्रदान किया गया है)