(यह छवि केवल उदाहरण के लिए बनाई गई है)
A classic illustration of the मोंटे कार्लो विधि [latex]pi[/latex] के मान का अनुमान लगा रहा है। [latex]2r[/latex] भुजा वाले वर्ग के भीतर [latex]r[/latex] त्रिज्या वाले एक वृत्त को अंकित करने पर, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात [latex]frac{pi r^2}{(2r)^2} = frac{pi}{4}[/latex] होता है। यादृच्छिक रूप से बिखरने वर्ग के भीतर बिंदुओं की गणना करना और वृत्त के अंदर गिरने वाले अंश [latex]p[/latex] की गणना करना एक अनुमान प्रदान करता है: [latex]pi approx 4p[/latex]।
पाई (π) का अनुमान लगाने की प्रक्रिया सरल है और मोंटे कार्लो के मूल सिद्धांत को उजागर करती है। कार्टेशियन समतल में एक इकाई वर्ग पर विचार करें जिसके शीर्ष (0,0), (1,0), (1,1) और (0,1) पर हैं। इस वर्ग के भीतर मूल बिंदु पर केंद्रित 1 त्रिज्या का एक चौथाई वृत्त अंकित है। वर्ग का क्षेत्रफल 1 है, और चौथाई वृत्त का क्षेत्रफल π(1)²/4 = π/4 है। अतः, चौथाई वृत्त के क्षेत्रफल और वर्ग के क्षेत्रफल का अनुपात π/4 है।
इस अनुपात का अनुमान लगाने के लिए, हम बड़ी संख्या में (n) यादृच्छिक बिंदु (x, y) उत्पन्न करते हैं, जहाँ x और y दोनों 0 और 1 के बीच समान रूप से वितरित होते हैं। प्रत्येक बिंदु के वर्ग के भीतर कहीं भी स्थित होने की समान संभावना होती है। एक बिंदु (x, y) चौथाई वृत्त के भीतर स्थित होता है यदि मूल बिंदु से उसकी दूरी 1 से कम या बराबर हो, जो कि x² + y² ≤ 1 की शर्त द्वारा निर्धारित होती है। हम इस शर्त को पूरा करने वाले बिंदुओं की संख्या (M) की गणना करते हैं। अनुपात (M/N) क्षेत्रफल के अनुपात (π/4) का अनुमान है। इसलिए, हम [latex]pi[/latex] को लगभग [latex]pi approx 4 frac{M}{N}[/latex] के रूप में अनुमानित कर सकते हैं। वृहद संख्याओं के नियम के अनुसार, जैसे-जैसे [latex]N[/latex] अनंत की ओर अग्रसर होता है, यह अनुमान [latex]pi[/latex] के वास्तविक मान की ओर अभिसरित होता जाता है। हालाँकि, अभिसरण धीमा है, और त्रुटि [latex]frac{1}{sqrt{N}}[/latex] के समानुपाती रूप से घटती जाती है, जिससे यह नियतात्मक एल्गोरिदम की तुलना में उच्च परिशुद्धता के साथ [latex]pi[/latex] की गणना करने की एक अत्यंत अक्षम विधि बन जाती है।
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पाई का मोंटे कार्लो अनुमान
(यदि तिथि अज्ञात है या प्रासंगिक नहीं है, उदाहरण के लिए "द्रव यांत्रिकी", तो इसके उल्लेखनीय उद्भव का एक अनुमानित आंकड़ा प्रदान किया गया है)
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