शुद्धता बनाम परिशुद्धता

आवर्तकाल P वाले फलन s(x) की फूरियर श्रृंखला के गुणांकों की गणना समाकलन सूत्रों का उपयोग करके की जाती है। DC घटक a₀ = 2P₀ = √P s(x) , dx है। कोसाइन गुणांक a₁ = 2P₀ = √P s(x) cos(2πnxP) , dx हैं, तथा साइन गुणांक b₁ = 2P₀ = √P s(x) sin(2πnxP) , dx हैं, जहाँ n ≥ 1 है।

एक रेखीय आंशिक अवकलन ऑपरेटर [latex]L[/latex] का मूलभूत हल समीकरण [latex]Lu = delta(x)[/latex] का हल होता है, जहाँ [latex]delta(x)[/latex] डिराक डेल्टा फलन है। यह किसी बिंदु स्रोत या आवेग के प्रति प्रणाली की प्रतिक्रिया को दर्शाता है। एक बार ज्ञात हो जाने पर, विषम समीकरण [latex]Lu = f(x)[/latex] का हल कनवोल्यूशन द्वारा ज्ञात किया जा सकता है: [latex]u(x) = (G * f)(x)[/latex], जहाँ [latex]G[/latex] मूलभूत हल है।

गॉस-बोनट प्रमेय एक संकुचित द्वि-आयामी सतह की ज्यामिति को उसकी टोपोलॉजी से जोड़ता है। यह बताता है कि संपूर्ण सतह M पर गॉसियन वक्रता K का समाकलन सतह के यूलर अभिलक्षणिका chi(M) के 2π गुना के बराबर होता है। सूत्र है: ∫M K dA = 2π chi(M)

रीमैनियन ज्यामिति, अवकल ज्यामिति की वह शाखा है जो रीमैनियन मैनिफोल्ड्स का अध्ययन करती है—ये चिकने मैनिफोल्ड्स होते हैं जिनमें रीमैनियन मीट्रिक होता है। यह मीट्रिक स्पर्शरेखा क्षेत्रों पर आंतरिक गुणनफलों का एक संग्रह है, जो एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक सुचारू रूप से बदलता रहता है। यह कोण, वक्रों की लंबाई, पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन जैसी स्थानीय ज्यामितीय अवधारणाओं को परिभाषित करने की अनुमति देता है, जिससे वक्रता की एक सामान्यीकृत अवधारणा प्राप्त होती है।

रेखीय बीजगणित में, रैंक-शून्यता प्रमेय यह बताता है कि परिमित-आयामी सदिश स्थानों के बीच किसी भी रेखीय मानचित्र [latex]T: V to W[/latex] के लिए, उसके डोमेन [latex]V[/latex] का आयाम उसकी रैंक (उसकी छवि का आयाम) और उसकी शून्यता (उसके कर्नेल का आयाम) का योग होता है। सूत्र है [latex]dim(V) = text{rank}(T) + text{nullity}(T)[/latex]।

अभाज्य संख्या प्रमेय पूर्णांकों के बीच अभाज्य संख्याओं के स्पर्शोन्मुख वितरण का वर्णन करता है। यह बताता है कि अभाज्य संख्याओं की गणना करने वाला फलन [latex]pi(x)[/latex], जो [latex]x[/latex] से कम या उसके बराबर अभाज्य संख्याओं की संख्या देता है, स्पर्शोन्मुख रूप से [latex]x / ln(x)[/latex] के समतुल्य है। औपचारिक रूप से, [latex]lim_{x to infty} frac{pi(x)}{x/ln(x)} = 1[/latex]। यह अभाज्य संख्याओं और प्राकृतिक लघुगणक के बीच एक मूलभूत संबंध स्थापित करता है।

फूरियर श्रृंखला किसी भी आवधिक फलन या संकेत को सरल दोलनशील फलनों, अर्थात् साइन और कोसाइन के योग में विघटित करती है। आवर्तकाल P वाले फलन s(x) के लिए, श्रृंखला निम्न प्रकार से दी जाती है: s(x) → a₀/2 + √n₁₈[a₁ cos(2πnx) + b₁ sin(2πnx)]। यहाँ a₁ और b₁ फूरियर गुणांक हैं।

थियोरेमा एग्रेगियम (लैटिन में "उल्लेखनीय प्रमेय") कहता है कि किसी सतह की गाउसियन वक्रता एक आंतरिक गुण है। इसका अर्थ है कि यह केवल इस बात पर निर्भर करता है कि सतह पर दूरियों को कैसे मापा जाता है, न कि इस बात पर कि सतह त्रि-आयामी अंतरिक्ष में कैसे स्थित है। कागज की एक सपाट शीट को बिना खींचे बेलन में मोड़ा जा सकता है, लेकिन गोले में नहीं।

किसी फूरियर श्रृंखला के फलन के मान पर अभिसरित होने के लिए, फलन को एक अवधि में डिरिचलेट शर्तों को पूरा करना चाहिए। ये शर्तें इस प्रकार हैं: (1) फलन पूर्णतः समाकलनीय होना चाहिए, (2) इसमें परिमित संख्या में चरम बिंदु (अधिकतम और न्यूनतम) होने चाहिए, और (3) इसमें परिमित संख्या में परिमित असंतुलन होने चाहिए।

डी मॉर्गन के नियम बूलियन बीजगणित में रूपांतरण नियमों का एक युग्म है जो डिजिटल सर्किट डिज़ाइन के लिए मूलभूत है। पहला नियम कहता है कि संयोजन का निषेध निषेधों का वियोजन होता है: [latex]neg(P land Q) iff (neg P) lor (neg Q)[/latex]। दूसरा नियम कहता है कि वियोजन का निषेध निषेधों का संयोजन होता है: [latex]neg(P lor Q) iff (neg P) land (neg Q)[/latex]।

अवकलनीय मैनिफोल्ड एक स्थलीय स्थान है जो स्थानीय रूप से यूक्लिडियन स्थान के समान होता है, जिससे कैलकुलस का अनुप्रयोग संभव हो पाता है। प्रत्येक बिंदु का एक ऐसा पड़ोस होता है जो [latex]mathbb{R}^n[/latex] के एक खुले उपसमुच्चय के समरूप होता है। ये स्थानीय निर्देशांक प्रणालियाँ, जिन्हें चार्ट कहा जाता है, सुगम संक्रमण फलनों द्वारा संबंधित होती हैं, जो एक एटलस का निर्माण करती हैं और मैनिफोल्ड की अवकलनीय संरचना को परिभाषित करती हैं।

डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक्स, जॉर्ज बूले द्वारा प्रतिपादित गणितीय तर्क प्रणाली, बूलियन बीजगणित पर आधारित है। इसमें आमतौर पर दो मान, 0 और 1 (या असत्य और सत्य), और तीन मूलभूत संक्रियाएँ उपयोग की जाती हैं: AND (संयोजन), OR (वियोजन), और NOT (निषेध)। ये संक्रियाएँ सीधे उन लॉजिक गेट्स से संबंधित होती हैं जो सभी डिजिटल परिपथों के मूलभूत घटक होते हैं।

होमियोमॉर्फिज्म दो टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच एक सतत फलन होता है जिसका एक सतत व्युत्क्रम फलन भी होता है। दो टोपोलॉजिकल स्पेस को होमियोमॉर्फिक कहा जाता है यदि ऐसा फलन मौजूद हो। टोपोलॉजिकल दृष्टिकोण से, होमियोमॉर्फिक स्पेस एक समान होते हैं। यह अवधारणा इस विचार को समाहित करती है कि किसी वस्तु को बिना फाड़े या चिपकाए खींचा, मोड़ा या विकृत किया जा सकता है, जैसे कॉफी मग को डोनट में बदलना।

गिब्स घटना, जंप असंतुलन पर फूरियर श्रृंखला के व्यवहार का वर्णन करती है। श्रृंखला के आंशिक योग जंप के पास एक अतिवृद्धि दर्शाते हैं, जो अधिक पद जोड़ने पर भी गायब नहीं होती। यह अतिवृद्धि श्रृंखला में पदों की संख्या की परवाह किए बिना, जंप की ऊँचाई के लगभग 9% के स्थिर मान पर अभिसरित होती है।