Completitud de Turing

Un homeomorfismo es una función continua entre dos espacios topológicos que tiene una función inversa continua. Dos espacios topológicos se llaman homeomorfos si existe tal función. Desde un punto de vista topológico, los espacios homeomórficos son idénticos. Este concepto recoge la idea de que un objeto puede estirarse, doblarse o deformarse en otro sin que se rompa o pegue, como una taza de café en un donut.

Este teorema establece que para cualquier función continua [latex]f[/latex] que mapea un conjunto convexo compacto a sí mismo, existe un punto [latex]x_0[/latex] tal que [latex]f(x_0) = x_0[/latex]. Este punto se denomina punto fijo. Informalmente, si tomamos un mapa de un país, lo arrugamos y lo colocamos dentro de las fronteras del país, siempre habrá al menos un punto en el mapa directamente encima de su ubicación correspondiente en el mundo real.

La condición de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) es un criterio de estabilidad necesario para las soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas que utilizan esquemas explícitos de integración temporal. Dicta que el tamaño del paso temporal debe ser lo suficientemente pequeño como para que la información no viaje más allá de una celda espacial de la cuadrícula por paso temporal. Para un caso 1D, [latex]C = u \frac{\Delta t}{\Delta x} \le C_{max}[/latex], lo que garantiza la estabilidad numérica.

La función de fiabilidad, R(t), define la probabilidad de que un sistema o componente realice su función requerida sin fallos durante un tiempo determinado "t". Para sistemas con una tasa de fallos constante (λ), se describe mediante la distribución exponencial: [latex]R(t) = e^{-\lambda t}[/latex]. Esta función es fundamental para predecir la longevidad y el rendimiento de un producto.

A classic illustration of the Monte Carlo method is estimating the value of [latex]\pi[/latex]. By inscribing a circle of radius [latex]r[/latex] within a square of side length [latex]2r[/latex], the ratio of their areas is [latex]\frac{\pi r^2}{(2r)^2} = \frac{\pi}{4}[/latex]. Randomly scattering points within the square and counting the fraction [latex]p[/latex] that fall inside the circle provides an estimate: [latex]\pi \approx 4p[/latex].

El código G, formalmente conocido como RS-274, es el lenguaje de programación más común para controlar máquinas CNC. Consiste en comandos secuenciales que instruyen a la máquina sobre posicionamiento, velocidad y acciones específicas. Los comandos comienzan con una letra; «G» indica comandos preparatorios para el movimiento (p. ej., G01 para avance lineal), mientras que «M» significa funciones diversas (p. ej., M03 para el arranque del husillo).

La electrónica digital se basa en el álgebra de Boole, un sistema matemático de lógica introducido por George Boole. Utiliza dos valores, normalmente 0 y 1 (o falso y verdadero), y tres operaciones básicas: AND (conjunción), OR (disyunción) y NOT (negación). Estas operaciones corresponden directamente a las puertas lógicas que forman los bloques de construcción de todos los circuitos digitales.

The Prime Number Theorem describes the asymptotic distribution of prime numbers among the integers. It states that the prime-counting function [latex]\pi(x)[/latex], which gives the number of primes less than or equal to [latex]x[/latex], is asymptotically equivalent to [latex]x / \ln(x)[/latex]. Formally, [latex]\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x/\ln(x)} = 1[/latex]. This provides a fundamental link between primes and the natural logarithm.

Un espacio topológico es un par ordenado [latex](X, \tau)[/latex], donde [latex]X[/latex] es un conjunto y [latex]\tau[/latex] es una colección de subconjuntos de [latex]X[/latex], llamados conjuntos abiertos, que satisfacen tres axiomas: 1) El conjunto vacío [latex]\emptyset[/latex] y el propio [latex]X[/latex] están en [latex]\tau[/latex]. 2) La unión de cualquier número de conjuntos en [latex]\tau[/latex] está también en [latex]\tau[/latex]. 3) La intersección de cualquier número finito de conjuntos en [latex]\tau[/latex] está también en [latex]\tau[/latex].

El Método de Elementos Finitos (MEF) es una potente técnica numérica para resolver problemas complejos de ingeniería y física descritos mediante ecuaciones diferenciales parciales. Funciona discretizando un dominio continuo en un conjunto de subdominios más pequeños y simples llamados «elementos finitos». Esto permite la solución numérica aproximada de problemas de análisis estructural, transferencia de calor, flujo de fluidos y electromagnetismo.

La interpolación es el proceso computacional dentro de un controlador CNC que genera una secuencia de puntos de coordenadas intermedios para crear una trayectoria uniforme entre los puntos finales programados. Los tipos más fundamentales son la interpolación lineal (G01) para líneas rectas y la interpolación circular (G02/G03) para arcos. Esto permite mecanizar perfiles complejos a partir de comandos geométricos simples en el programa de código G.