A key result in number theory stating that if a prime number [latex]p[/latex] divides the product of two integers [latex]a[/latex] and [latex]b[/latex], then [latex]p[/latex] must divide at least one of those integers. That is, if [latex]p | ab[/latex], then [latex]p | a[/latex] or [latex]p | b[/latex]. This property is essential for proving the uniqueness part of the Fundamental Theorem of Arithmetic.
Euclid’s Lemma is Proposition 30 in Book VII of his *Elements*. Its proof typically relies on another fundamental result, Bézout‘s identity, which states that the greatest common divisor (GCD) of two integers `a` and `b` can be expressed as a linear combination `ax + by` for some integers `x` and `y`. The proof of the lemma proceeds as follows: Assume a prime `p` divides `ab`. If `p` does not divide `a`, then `p` and `a` are coprime (their GCD is 1), since the only divisors of `p` are 1 and `p`. By Bézout’s identity, there exist integers `x` and `y` such that `px + ay = 1`. Multiplying this entire equation by `b` gives `pbx + aby = b`. We know that `p` divides `pbx` (trivially) and `p` divides `aby` (by our initial assumption that `p` divides `ab`). Therefore, `p` must divide their sum, which is `b`. This completes the proof.
This lemma is the critical step in establishing the uniqueness of prime factorizations. Without it, one could potentially have two different sets of prime factors for the same number. The lemma ensures that if a prime appears in one factorization, it must also appear in any other factorization of the same number. The property described in the lemma is now used to define the more general concept of a ‘prime element’ in abstract algebra and ring theory, distinguishing it from an ‘irreducible element’.
متاح للتحديات الجديدة
مهندس ميكانيكي، مشروع، هندسة العمليات أو مدير البحث والتطوير
متاح لتحدي جديد في غضون مهلة قصيرة.
تواصل معي على LinkedIn
تكامل الإلكترونيات المعدنية والبلاستيكية، التصميم مقابل التكلفة، ممارسات التصنيع الجيدة (GMP)، بيئة العمل، الأجهزة والمواد الاستهلاكية متوسطة إلى عالية الحجم، التصنيع المرن، الصناعات الخاضعة للتنظيم، شهادات CE وFDA، التصميم بمساعدة الحاسوب (CAD)، Solidworks، الحزام الأسود من Lean Sigma، شهادة ISO 13485 الطبية
احصل على جميع المقالات الجديدة
مجاني، لا يوجد بريد عشوائي، ولا يتم توزيع البريد الإلكتروني ولا إعادة بيعه
أو يمكنك الحصول على عضويتك الكاملة -مجانًا- للوصول إلى جميع المحتويات المحظورة >هنا<
(إذا كان التاريخ غير معروف أو غير ذي صلة، على سبيل المثال "ميكانيكا الموائع"، يتم تقديم تقدير تقريبي لظهوره الملحوظ)
الاختراع والابتكار والمبادئ التقنية ذات الصلة
{{العنوان}}
{% إذا كان المقتطف %}{{ مقتطفات | truncatewords: 55 }}
{% endif %}
