المعادلات التفاضلية الجزئية (PDE)

ينص نظرية إقليدس على أن هناك عددًا لا حصر له من الأعداد الأولية. والدليل الكلاسيكي على ذلك هو التناقض. فهو يفترض وجود قائمة محدودة بجميع الأعداد الأولية [latex]p_1، p_2، \dots، p_n[/latex]. ثم يأخذ في الاعتبار العدد [latex]P = p_1 p_2 \cdots p_n + 1[/latex]. هذا العدد [latex]P[/latex] إما أن يكون أوليًا أو غير أولي. إذا كان أوليًا، فهو عدد أولي جديد غير موجود في القائمة.

العدد النسبي هو أي عدد يمكن التعبير عنه ككسر أو حاصل قسمة [latex]p/q[/latex]، حيث [latex]p[/latex] هو عدد صحيح و [latex]q[/latex] هو عدد صحيح غير صفر. يُشار إلى مجموعة جميع الأعداد النسبية بـ [latex]\mathbb{Q}[/latex]. يوسع هذا المفهوم الأساسي الأعداد الصحيحة لتشمل الكسور، مما يسمح بتمثيل أجزاء من الكل.

تقنية لحل المعادلات التفاضلية الجزئية (PDE) من الرتبة الأولى والرتبة الثانية الزائدية. تُختزل هذه الطريقة المعادلات التفاضلية الجزئية إلى مجموعة من المعادلات التفاضلية العادية (ODEs) على طول منحنيات محددة تُسمى "خصائص". على طول هذه المنحنيات، يُبسط المعادلة التفاضلية الجزئية، مما يسمح بإيجاد الحل عن طريق تكامل نظام المعادلات التفاضلية العادية. تُعد هذه الطريقة فعّالة بشكل خاص في مسائل النقل وانتشار الموجات.

نتيجة مباشرة للنظرية الأساسية في الجبر هي أن أي دالة كثيرة الحدود غير ثابتة ذات معاملات حقيقية يمكن تحليلها إلى حاصل ضرب عوامل خطية وعوامل تربيعية غير قابلة للتحليل، وجميعها ذات معاملات حقيقية. العوامل الخطية تتوافق مع الجذور الحقيقية، بينما العوامل التربيعية غير القابلة للتحليل تتوافق مع أزواج الجذور المركبة المرافقة [latex]a \pm bi[/latex].

العدد التجاوزي هو عدد حقيقي أو مركب غير جبري، بمعنى أنه ليس جذراً لأي معادلة كثيرات الحدود غير صفرية ذات معاملات صحيحة (أو نسبية). جميع الأعداد التجاوزيّة هي أعداد غير منطقية، ولكن ليست كل الأعداد غير المنطقية أعدادًا تجاوزيّة (على سبيل المثال، [latex]\sqrt{2}[/latex] هو عدد غير منطقي ولكنه جبري، لأنه جذر [latex]x^2 - 2 = 0[/latex]).

على الرغم من كثافتها، أي أنه بين أي عددين نسبيين متميزين يوجد عدد آخر، فإن مجموعة جميع الأعداد النسبية [latex]\mathbb{Q}[/latex] هي مجموعة لا حصر لها. وهذا يعني أن جميع الأعداد النسبية يمكن وضعها في علاقة تناظرية مع الأعداد الطبيعية [latex]\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}[/latex]. يوضح هذا النتيجة المفاجئة أن [latex]\mathbb{Q}[/latex] لها نفس الكثافة مثل [latex]\mathbb{N}[/latex] و [latex]\mathbb{Z}[/latex].

نتيجة أساسية في نظرية الأعداد تنص على أنه إذا كان العدد الأولي [latex]p[/latex] يقسم حاصل ضرب عددين صحيحين [latex]a[/latex] و[latex]b[/latex]، فإن [latex]p[/latex] يجب أن يقسم [latex]p[/latex] على الأقل أحد هذين العددين الصحيحين. هذا يعني أنه إذا كان [latex]p | ab[/latex]، فإن [latex]p | a[/latex] أو [latex]p | b[/latex]. هذه الخاصية ضرورية لإثبات جزء التفرد من النظرية الأساسية في علم الحساب.

العدد غير المنطقي هو أي عدد حقيقي لا يمكن التعبير عنه كنسبة بين عددين صحيحين، [latex]p/q[/latex]، حيث [latex]p[/latex] هو عدد صحيح و [latex]q[/latex] هو عدد صحيح غير صفر. بعبارة أخرى، هي أعداد حقيقية غير منطقية. تمثيلها العشري لا ينتهي أبدًا ولا يدخل في نمط متكرر بشكل دائم.

يكون العدد الحقيقي عقلانيًا إذا كان تمثيله العشري دوريًا. وهذا يعني أن تسلسل الأرقام يتكرر في النهاية بشكل غير محدود. ويُسمى هذا الجزء المتكرر بالجزء المتكرر. على سبيل المثال، [latex]1/3 = 0.333...[/latex] (المتكرر هو '3') و [latex]3/7 = 0.428571428571...[/latex] (المتكرر هو '428571'). الأرقام العشرية المنتهية هي حالة خاصة حيث المتكرر هو '0'.

نظرية بيزوت هي عبارة أساسية في نظرية التقاطع. وهي تؤكد أن عدد نقاط التقاطع لمنحنيين جبريين مستويين من الدرجة [latex]m[/latex] و[latex]m[/latex] يساوي بالضبط [latex]m[/latex]، شريطة أن يعمل المرء في مستوى مسقط على حقل مغلق جبريًا، ويحسب النقاط ذات التعدد، ويتضمن نقاطًا عند ما لا نهاية حيث تلتقي خطوط التقارب المتوازية.

ينص النظرية الأساسية للجبرا على أن كل متعدد الحدود غير ثابت ذو متغير واحد ومعاملات معقدة له جذر معقد واحد على الأقل. وهذا يضمن أن مجال الأعداد المعقدة مغلق جبريًا، مما يعني أن المعادلات المتعددة الحدود التي لا يمكن حلها بالأعداد الحقيقية يمكن حلها بالأعداد المعقدة. بالنسبة لمتعدد الحدود [latex]p(z) = a_n z^n + \dots + a_1 z + a_0[/latex]، يوجد [latex]z_0 في \mathbb{C}[/latex] بحيث [latex]p(z_0) = 0[/latex].

تنص هذه النظرية على أن كل عدد صحيح أكبر من ١ هو إما عدد أوّلي أو يمكن تمثيله بشكل فريد كحاصل ضرب أعداد أولية، بغض النظر عن ترتيب العوامل. على سبيل المثال، [latex]1200 = 2^4 \times 3^1 \times 5^2[/latex]. هذا التحليل الفريد هو حجر الزاوية في نظرية الأعداد، حيث يوفر بنية ضرب أساسية للأعداد الصحيحة.

التمثيل القياسي، أو الصيغة القياسية، لعدد صحيح موجب [latex]n[/latex] هو تحليله الفريد إلى عوامل أولية مكتوب كناتج ضرب قوى الأعداد الأولية مرتبة تصاعديًا. لأي عدد صحيح [latex]n > 1[/latex]، يمكن كتابته على الصورة [latex]n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}[/latex]، حيث [latex]p_1 < p_2 < \cdots < p_k[/latex] هي أعداد أولية والأسس [latex]a_i[/latex] هي أعداد صحيحة موجبة.

نظرية الوجود والتفرد الأساسية لمعادلات التفاضل الجزئي المرتبطة بمسائل القيم الابتدائية لكوشي. تنص هذه النظرية على أنه إذا كانت المعادلات التفاضلية الجزئية والشروط الابتدائية "تحليلية" (يمكن تمثيلها بمتسلسلات قوى متقاربة)، فإن حلاً تحليلياً فريداً موجوداً في جوار السطح الابتدائي. توفر هذه النظرية ضماناً للوجود المحلي، لكنها لا تتناول السلوك العام أو حسن الوضعية.