Assumptions of ANOVA

تنص هذه النظرية على أنه بالنسبة لأي دالة متصلة [latex]f[/latex] ترسم مجموعة محدبة مضغوطة لنفسها، هناك نقطة [latex]x_0[/latex] بحيث تكون [latex]f(x_0) = x_0[/latex]. تُسمّى هذه النقطة نقطة ثابتة. بشكل غير رسمي، إذا أخذت خريطة لبلد ما، وقمت بتجعيدها ووضعها داخل حدود البلد، فستكون هناك دائماً نقطة واحدة على الأقل على الخريطة فوق موقعها المناظر في العالم الحقيقي مباشرةً.

Analysis of Variance (ANOVA) is a statistical method that partitions the total observed variability in a data set into components attributable to different sources. The core idea is to compare the variance between the means of different groups to the variance within those groups. If the between-group variance is significantly larger, it suggests the group means are genuinely different.

إن شرط كورانت-فريدريكس-ليوي (CFL) هو معيار استقرار ضروري للحلول العددية للمعادلات التفاضلية الجزئية الزائدية باستخدام مخططات التكامل الزمني الصريحة. وينص هذا الشرط على أن حجم الخطوة الزمنية يجب أن يكون صغيرًا بما يكفي بحيث لا تنتقل المعلومات أكثر من خلية شبكة مكانية واحدة لكل خطوة زمنية. بالنسبة لحالة 1D، [latex]C = u \frac{\Delta t}{\Delta x} \le C_{max}[/latex]، مما يضمن الاستقرار العددي.

طريقة العناصر المحدودة (FEM) هي تقنية عددية فعّالة لحل المسائل الهندسية والفيزيائية المعقدة الموصوفة بمعادلات تفاضلية جزئية. تعمل هذه الطريقة بتقسيم مجال متصل إلى مجموعة من المجالات الفرعية الأصغر والأبسط، تُسمى "العناصر المحدودة". يتيح هذا الحل العددي التقريبي لمسائل في التحليل الهيكلي، وانتقال الحرارة، وتدفق الموائع، والكهرومغناطيسية.

الاستيفاء هو عملية حسابية داخل وحدة تحكم CNC، تُولّد سلسلة من نقاط الإحداثيات الوسيطة لإنشاء مسار سلس بين نقاط النهاية المبرمجة. وأهم أنواعها هي الاستيفاء الخطي (G01) للخطوط المستقيمة، والاستيفاء الدائري (G02/G03) للأقواس. يتيح هذا تشكيل مقاطع معقدة من أوامر هندسية بسيطة في برنامج G-code.

A statistic indicating the goodness of fit of a model, representing the proportion of the variance in the dependent variable that is predictable from the independent variable(s). An R² of 1 indicates a perfect fit, while 0 indicates no linear relationship. It is calculated as [latex]R^2 \equiv 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}}[/latex], where [latex]SS_{res}[/latex] is the residual sum of squares.

الفضاء الطوبولوجي هو زوج مرتب [latex](X، \tau)[/latex]، حيث [latex]X[/latex] مجموعة و[latex]\tau[/latex] مجموعة من المجموعات الجزئية لـ [latex]X[/latex]، تسمى مجموعات مفتوحة، تحقق ثلاث بديهيات: 1) المجموعة الفارغة [latex]\emptyset[/latex] و[latex]X[/latex] نفسها في [latex]\tau[/latex]. 2) إن اتحاد أي عدد من المجموعات في [latex]\Tau[/latex] يقع أيضًا في [latex]\Tau[/latex]. 3) تقاطع أي عدد منتهٍ من المجموعات في [latex]\tau1Tau[/latex] يقع أيضًا في [latex]\tau[/latex].

One-way ANOVA is used to determine whether there are any statistically significant differences between the means of three or more independent groups. It analyzes the effect of a single categorical independent variable, known as a factor, on a continuous dependent variable. The null hypothesis states that all group means are equal, [latex]H_0: \mu_1 = \mu_2 = \dots = \mu_k[/latex].

تحدّد دالة الموثوقية، R(t)، احتمال أن يؤدي النظام أو المكوّن وظيفته المطلوبة دون فشل لفترة زمنية محددة "t". بالنسبة للأنظمة ذات معدل الفشل الثابت (λ)، يتم وصفها بالتوزيع الأسي: [latex]R(t) = e^^{- \\lambda t}[/latex]. هذه الدالة أساسية للتنبؤ بطول عمر المنتج وأدائه.

A classic illustration of the Monte Carlo method is estimating the value of [latex]\pi[/latex]. By inscribing a circle of radius [latex]r[/latex] within a square of side length [latex]2r[/latex], the ratio of their areas is [latex]\frac{\pi r^2}{(2r)^2} = \frac{\pi}{4}[/latex]. Randomly scattering points within the square and counting the fraction [latex]p[/latex] that fall inside the circle provides an estimate: [latex]\pi \approx 4p[/latex].

G-code، المعروف رسميًا باسم RS-274، هو لغة البرمجة الأكثر شيوعًا للتحكم في ماكينات CNC. يتكون من أوامر متسلسلة تُوجّه الآلة نحو تحديد المواقع والسرعة وإجراءات محددة. تبدأ الأوامر بحرف؛ حيث يُشير الحرف "G" إلى الأوامر التحضيرية للحركة (مثل G01 للتغذية الخطية)، بينما يُشير الحرف "M" إلى وظائف متنوعة (مثل M03 لبدء المغزل).