الدقة مقابل الدقة

معادلة تفاضلية جزئية إهليلجية خطية من الرتبة الثانية تصف الأنظمة في حالة استقرار أو حالة توازن. وهي مكتوبة على الصورة [latex]nabla^2 u = 0[/latex] أو [latex]Delta u = 0[/latex]، حيث [latex]nabla^2[/latex] (أو [latex]Delta[/latex]) هو مشغل لابلاس. الحلول التي تُسمى الدوال التوافقية هي أنعم الدوال الممكنة وتمثل الإمكانات في مجالات مثل الكهرباء الساكنة والجاذبية وسريان الموائع.

تنص نظرية إيجيريوم (وتعني باللاتينية "النظرية الرائعة") على أن الانحناء الغاوسي للسطح خاصية جوهرية. وهذا يعني أنه يعتمد فقط على كيفية قياس المسافات على السطح نفسه، وليس على كيفية تضمين السطح في الفضاء الثلاثي الأبعاد. يمكن لف ورقة مسطحة على شكل أسطوانة ولكن ليس على شكل كرة دون أن تتمدد.

تربط نظرية غاوس-بونيه بين هندسة سطح مضغوط ثنائي الأبعاد وطوبولوجيته. وهي تنص على أن تكامل تكامل انحناء غاوس [latex]K[/latex] على السطح بأكمله [latex]M[/latex] يساوي [latex]2\pi[/latex] مضروبًا في خاصية أويلر [latex]\chi(M)[/latex] للسطح. والمعادلة هي [latex]\Tint_M K \، dA = 2\pi \chi(M)[/latex].

الهندسة الريمانية هي فرع من فروع الهندسة التفاضلية يدرس المتشعبات الريمانية، وهي متشعبات ملساء مزودة بمقياس ريمان. هذا المقياس هو مجموعة من الضربات الداخلية في الفضاءات المماسّة، تتغير بسلاسة من نقطة إلى أخرى. يسمح هذا بتعريف مفاهيم هندسية محلية مثل الزاوية، وطول المنحنيات، ومساحة السطح، والحجم، مما يؤدي إلى مفهوم عام للانحناء.

التشابه هو دالة متصلة بين فضاءين طوبولوجيين لها دالة عكسية متصلة. يسمى الفضاءان الطوبولوجيان متماثلين إذا كانت هذه الدالة موجودة. من وجهة نظر طوبولوجية، تكون الفضاءات المتماثلة متطابقة. يجسد هذا المفهوم فكرة أن الجسم يمكن أن يتمدد أو ينحني أو يتشوه إلى جسم آخر دون تمزيق أو لصق، مثل كوب قهوة في كعكة دونات.

الفضاء الطوبولوجي هو زوج مرتب [latex](X، \tau)[/latex]، حيث [latex]X[/latex] مجموعة و[latex]\tau[/latex] مجموعة من المجموعات الجزئية لـ [latex]X[/latex]، تسمى مجموعات مفتوحة، تحقق ثلاث بديهيات: 1) المجموعة الفارغة [latex]\emptyset[/latex] و[latex]X[/latex] نفسها في [latex]\tau[/latex]. 2) إن اتحاد أي عدد من المجموعات في [latex]\Tau[/latex] يقع أيضًا في [latex]\Tau[/latex]. 3) تقاطع أي عدد منتهٍ من المجموعات في [latex]\tau1Tau[/latex] يقع أيضًا في [latex]\tau[/latex].

خاصية أويلر هي متغير طوبولوجي، وهو رقم يصف بنية الفضاء الطوبولوجي أو شكله بغض النظر عن كيفية ثنيه. بالنسبة إلى متعددات الوجوه، تُعرَّف بالصيغة [latex]\chi = V - E + F[/latex]، حيث V وE وF هي عدد الرءوس والأحرف والأوجه، على التوالي. بالنسبة إلى الكرة، [latex]\chi = 2[/latex]، بينما بالنسبة إلى الطور، [latex]\chi = 0[/latex].

معادلة تفاضلية جزئية مكافئة خطية أساسية من الدرجة الثانية تصف توزيع الحرارة أو عمليات الانتشار الأخرى. شكلها المتعارف عليه هو [latex] \frac{partial u}{partial t} = \alpha \nabla ^2 u[/latex]، حيث [latex]u(\vec{x},t)[/latex] هي درجة الحرارة، و[latex]TT[/latex] هي الزمن، و[latex]\alpha[/latex] هي الانتشار الحراري. تمثل الحلول نموذجًا لكيفية تطور التوزيع الابتدائي لدرجة الحرارة، مما يخفف من عدم الانتظام بمرور الوقت ويقترب من حالة مستقرة.

الحل الأساسي للمشغل التفاضلي الجزئي الخطي [latex]L[/latex] هو حل للمعادلة [latex]Lu = دلتا(س)[/latex]، حيث [latex]Delta(س)[/latex] هي دالة دلتا ديراك. وهي تمثّل استجابة النظام لمصدر نقطي أو دافع. بمجرد معرفتها، يمكن إيجاد حل المعادلة غير المتجانسة [latex]Lu = f(x)[/latex] عن طريق الالتفاف: [latex]Tu(x) = (G * f)(x) [/latex]، حيث [latex]G[/latex] هو الحل الأساسي.

قوانين دي مورغان هي زوج من قواعد التحويل في الجبر المنطقي التي تُعد أساسية لتصميم الدوائر الرقمية. وينص القانون الأول على أن نفي الاقتران هو نفي النفي: [latex]/نفي (P \land Q) \iff (\nالسالب P) \Lor (\السالب Q)[/latex]. والثاني ينص على أن نفي النفي هو اقتران النفيين: [latex] \Neg(P \LOR Q) \iff (\Neg P) \LAND (\Neg Q)[/latex].

المتشعّب القابل للاشتقاق هو فضاء طوبولوجي مشابه محليًّا للفضاء الإقليديان، مما يسمح بتطبيق التفاضل والتكامل. كل نقطة لها جوار متجانس مع مجموعة فرعية مفتوحة من [latex]\mathbbb{R}^n[/latex]. وترتبط أنظمة الإحداثيات المحلية هذه، التي تُسمَّى المخططات بدوال انتقالية سلسة، لتُشكِّل أطلسًا يُحدِّد البنية القابلة للاشتقاق للمتشعب.

تعتمد الإلكترونيات الرقمية على الجبر المنطقي، وهو نظام رياضي للمنطق قدمه جورج بول. وهو يستخدم قيمتين، عادةً 0 و1 (أو خطأ وصواب)، وثلاث عمليات أساسية: AND (اقتران)، OR (فك الارتباط)، OR (فك الارتباط)، و NOT (النفي). تتوافق هذه العمليات مباشرة مع البوابات المنطقية التي تشكل اللبنات الأساسية لجميع الدوائر الرقمية.

تنص هذه النظرية على أنه بالنسبة لأي دالة متصلة [latex]f[/latex] ترسم مجموعة محدبة مضغوطة لنفسها، هناك نقطة [latex]x_0[/latex] بحيث تكون [latex]f(x_0) = x_0[/latex]. تُسمّى هذه النقطة نقطة ثابتة. بشكل غير رسمي، إذا أخذت خريطة لبلد ما، وقمت بتجعيدها ووضعها داخل حدود البلد، فستكون هناك دائماً نقطة واحدة على الأقل على الخريطة فوق موقعها المناظر في العالم الحقيقي مباشرةً.

إن شرط كورانت-فريدريكس-ليوي (CFL) هو معيار استقرار ضروري للحلول العددية للمعادلات التفاضلية الجزئية الزائدية باستخدام مخططات التكامل الزمني الصريحة. وينص هذا الشرط على أن حجم الخطوة الزمنية يجب أن يكون صغيرًا بما يكفي بحيث لا تنتقل المعلومات أكثر من خلية شبكة مكانية واحدة لكل خطوة زمنية. بالنسبة لحالة 1D، [latex]C = u \frac{\Delta t}{\Delta x} \le C_{max}[/latex]، مما يضمن الاستقرار العددي.