数学的帰納法による証明

2の平方根は無理数であり、2つの整数の比[latex]p/q[/latex]として表すことはできません。ピタゴラス学派に帰せられることが多い古典的な証明は、背理法による証明です。この証明では、[latex]sqrt{2} = p/q[/latex]を既約分数で仮定すると、[latex]p[/latex]と[latex]q[/latex]の両方が偶数でなければならないという結論に至り、最初の仮定と矛盾します。

プトレマイオスの定理は、三角法の和と差の公式に対する優雅な幾何学的証明を提供します。一辺を直径とする円に四角形を内接させることで、辺の長さは内接角の正弦と余弦で表すことができます。定理 [latex]AC cdot BD = AB cdot CD + BC cdot DA[/latex] を直接適用すると、[latex]sin(alpha + beta) = sinalphacosbeta + cosalphasinbeta[/latex] のような恒等式が得られます。

デカルト座標系は、ユークリッド幾何学の代数モデルを提供する。これは、1つまたは複数の数値、すなわち座標を用いて、空間内の点の位置を一意に決定する。平面上では、互いに垂直な2本の直線（x軸とy軸）が用いられ、幾何学的形状を代数方程式で記述することができる。このように代数と幾何学を融合させたものが解析幾何学と呼ばれる。

様々な種類の波の伝播を記述する2階線形双曲型偏微分方程式。最も単純な形式では、[latex]frac{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 nabla^2 u[/latex]と表され、ここで[latex]u(vec{x},t)[/latex]は波の振幅、[latex]c[/latex]は波の速度、[latex]nabla^2[/latex]はラプラス演算子である。この方程式は、弦の振動、音波、光波などの現象をモデル化する。

オイラー標数は位相不変量であり、位相空間の構造や形状を、その形状がどのように歪められても記述する数値です。多面体の場合、[latex]chi = V - E + F[/latex] という式で定義されます。ここで、V、E、F はそれぞれ頂点、辺、面の数です。球の場合、[latex]chi = 2[/latex]、トーラスの場合、[latex]chi = 0[/latex] となります。

幾何確率論における初期の問題の一つであり、モンテカルロ法の先駆けと考えられています。長さ[latex]l[/latex]の針を、距離[latex]t[/latex]だけ平行な線が引かれた床に落とすという問題です。針が線を横切る確率は[latex]P = frac{2l}{pi t}[/latex]（[latex]l le t[/latex]の場合）です。これは[latex]pi[/latex]を推定するための物理的な実験となります。

背理法（または背理法）は、間接証明の一形態です。これは、命題が偽であると仮定すると論理的な矛盾が生じることを示すことで、命題の真偽を確立します。命題[latex]p[/latex]を証明するには、その否定[latex]neg p[/latex]を仮定し、[latex]q land neg q[/latex]のような矛盾を導き出すことで、[latex]p[/latex]が真であると結論づけます。

ピタゴラスの定理は、直角三角形の3辺の関係を表すユークリッド幾何学の基本的な法則です。直角の対辺である斜辺を辺とする正方形の面積は、他の2辺を辺とする正方形の面積の和に等しいことを示しています。この式は、[latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex] と表されます。

不可分法とも呼ばれるこの原理は、2つの平行な平面の間にある2つの立体が、その2つの平面に平行なすべての平面と等しい面積の断面で交わる性質を持つ場合、2つの立体は等しい体積を持つというものです。これは、微積分を用いずに複雑な形状の体積を計算するための強力な方法を提供します。

ピタゴラスの定理は、デカルト座標における距離の公式の基礎となります。平面上の2点[latex](x_1, y_1)[/latex]と[latex](x_2, y_2)[/latex]間の距離[latex]d[/latex]は、[latex]d = sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}[/latex]で与えられます。この公式は、x座標とy座標の差を辺とする直角三角形に定理を直接適用したものです。

これは数学史において特筆すべき問題である。1736年にレオンハルト・オイラーがこの問題を否定的に解決したことで、グラフ理論の基礎が築かれ、トポロジーの概念が先駆けられた。この問題は、ケーニヒスベルク市の7つの橋を、一度の往復で全て渡り、出発点と同じ陸地に戻ってくることができるかどうかを問うものであった。

位相幾何学における基本定理の一つに、任意の凸多面体において、頂点数（V）、辺数（E）、面数（F）は[latex]V - E + F = 2[/latex]という関係式で表されるというものがあります。この値2は球面のオイラー標数であり、多面体の具体的な形状に依存しない、深遠な位相幾何学的性質を示しています。

ベイズの定理は、事象に関連する可能性のある条件に関する事前知識に基づいて、事象の確率を記述するものです。これは確率論と統計学における基本的な概念です。数学的には、[latex]P(A|B) = frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}[/latex]と表され、AとBは事象であり、[latex]P(B) neq 0[/latex]です。これは、2つのランダムな事象の条件付き確率と周辺確率の関係を表します。

定常状態または平衡状態にあるシステムを記述する2階線形楕円型偏微分方程式。これは、[latex]nabla^2 u = 0[/latex]または[latex]Delta u = 0[/latex]と表記され、[latex]nabla^2[/latex]（または[latex]Delta[/latex]）はラプラス演算子です。調和関数と呼ばれる解は、可能な限り滑らかな関数であり、静電気、重力、流体の流れなどの場におけるポテンシャルを表します。