Varietà affine

Un numero trascendentale è un numero reale o complesso che non è algebrico, ovvero non è radice di alcuna equazione polinomiale diversa da zero con coefficienti interi (o razionali). Tutti i numeri trascendentali sono irrazionali, ma non tutti i numeri irrazionali sono trascendentali (ad esempio, [latex]\sqrt{2}[/latex] è irrazionale ma algebrico, poiché è una radice di [latex]x^2 - 2 = 0[/latex]).

Nonostante sia denso, ovvero nonostante tra due numeri razionali distinti ve ne sia sempre un altro, l'insieme di tutti i numeri razionali [latex]\mathbb{Q}[/latex] è infinito numerabile. Ciò significa che tutti i numeri razionali possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali [latex]\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}[/latex]. Questo risultato sorprendente dimostra che [latex]\mathbb{Q}[/latex] ha la stessa cardinalità di [latex]\mathbb{N}[/latex] e [latex]\mathbb{Z}[/latex].

Il Nullstellensatz di Hilbert (in tedesco "teorema degli zeri") stabilisce una corrispondenza fondamentale tra geometria e algebra. Esso afferma che, per un campo algebricamente chiuso [latex]k[/latex], se un polinomio [latex]p[/latex] svanisce sull'insieme zero di un ideale [latex]I[/latex], allora una potenza di [latex]p[/latex] deve appartenere a [latex]I[/latex]. Formalmente, [latex]I(V(I)) = \sqrt{I}[/latex], il radicale di [latex]I[/latex].

Questo teorema afferma che ogni numero intero maggiore di 1 è un numero primo o può essere rappresentato in modo univoco come prodotto di numeri primi, senza tener conto dell'ordine dei fattori. Ad esempio, [latex]1200 = 2^4 ^molte volte 3^1 ^molte volte 5^2[/latex]. Questa fattorizzazione unica è una pietra miliare della teoria dei numeri e fornisce una struttura moltiplicativa fondamentale per i numeri interi.

La rappresentazione canonica, o forma standard, di un numero intero positivo [latex]n[/latex] è la sua fattorizzazione primaria unica scritta come prodotto di potenze primarie con i numeri primi in ordine crescente. Per qualsiasi numero intero [latex]n > 1[/latex], può essere scritto come [latex]n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}[/latex], dove [latex]p_1 < p_2 < \cdots < p_k[/latex] sono numeri primi e gli esponenti [latex]a_i[/latex] sono numeri interi positivi.

Un teorema fondamentale di esistenza e unicità per equazioni differenziali parziali associate a problemi di Cauchy ai valori iniziali. Afferma che se l'equazione differenziale alle derivate parziali e le condizioni iniziali sono "analitiche" (rappresentabili da serie di potenze convergenti), allora esiste un'unica soluzione analitica in un intorno della superficie iniziale. Fornisce una garanzia di esistenza locale, ma non affronta il comportamento globale o la buona posizione.

Per un numero primo [latex]p[/latex], i numeri p-adici formano un'estensione dei numeri razionali che è topologicamente diversa dai numeri reali. Mentre i numeri reali sono un completamento di [latex]\mathbb{Q}[/latex] rispetto alla metrica del valore assoluto usuale, i numeri p-adici sono il completamento di [latex]\mathbb{Q}[/latex] rispetto alla metrica p-adica, dove i numeri sono "piccoli" se sono divisibili per una potenza elevata di [latex]p[/latex].

La coomologia degli sheaf è uno strumento centrale della moderna geometria algebrica per studiare le proprietà globali degli spazi geometrici. Per uno sheaf [latex]\mathcal{F}[/latex] su uno spazio [latex]X[/latex], i gruppi di coomologia [latex]H^i(X, \mathcal{F})[/latex] sono spazi vettoriali le cui dimensioni forniscono importanti invarianti. Il gruppo [latex]H^0[/latex] rappresenta le sezioni globali, mentre i gruppi superiori [latex]H^i[/latex] per [latex]i > 0[/latex] misurano le ostruzioni al raggruppamento delle sezioni locali in una globale.