Product Design, Manufacturing & Innovation Resources

घर » गॉस-मार्कोव प्रमेय

गॉस-मार्कोव प्रमेय

1900

Carl Friedrich Gauss
Andrey Markov

(यह छवि केवल उदाहरण के लिए बनाई गई है)

यह प्रमेय बताता है कि एक रैखिक प्रतिगमन मॉडल में, जहाँ त्रुटियों का माध्य शून्य होता है, वे असंबंधित होती हैं और उनका प्रसरण स्थिर होता है (समरूपता), साधारण न्यूनतम वर्ग (ओएलएस) अनुमानक सर्वश्रेष्ठ रैखिक निष्पक्ष अनुमानक (ब्लू) होता है। "सर्वश्रेष्ठ" का अर्थ है कि प्रतिगमन गुणांकों के सभी रैखिक निष्पक्ष अनुमानकों में इसका प्रसरण न्यूनतम होता है, जिससे यह सबसे सटीक होता है।

The Gauss-Markov theorem is a central result in the theory of linear regression that gives OLS its strong theoretical appeal. It guarantees that if a specific set of assumptions holds, no other linear and unbiased estimator will be more efficient than OLS. Let’s break down the BLUE acronym. ‘Linear’ means the estimator for the coefficients is a linear combination of the observed dependent variable values. ‘Unbiased’ means that on average, the estimator will yield the true population parameter; its expected value is the true value, [latex]E(\hat{\beta}) = \beta[/latex]. ‘Best’ signifies that the OLS estimator has the minimum variance in its sampling distribution compared to any other linear unbiased estimator.

मुख्य मान्यताएँ, जिन्हें गॉस-मार्कोव मान्यताएँ कहा जाता है, इस प्रकार हैं: 1. मॉडल मापदंडों में रैखिक है। 2. त्रुटियों का सशर्त माध्य शून्य है ([latex]E(varepsilon | X) = 0[/latex])। 3. स्वतंत्र चर पूर्णतः संरेख नहीं हैं। 4. त्रुटियाँ समरूप हैं (स्थिर प्रसरण रखती हैं, [latex]Var(varepsilon | X) = sigma^2[/latex]) और स्वसहसंबंधित नहीं हैं ([latex]Cov(varepsilon_i, varepsilon_j | X) = 0[/latex] for [latex]i neq j[/latex])।

महत्वपूर्ण बात यह है कि इस प्रमेय के लिए त्रुटियों का सामान्य रूप से वितरित होना आवश्यक नहीं है। सामान्यता की धारणा बाद में तब जोड़ी जाती है जब गुणांकों पर सटीक परिमित-नमूना परिकल्पना परीक्षण (जैसे टी-परीक्षण और एफ-परीक्षण) किए जाने हों। जब गॉस-मार्कोव की मान्यताएँ भंग होती हैं (उदाहरण के लिए, विषमता या स्वसहसंबंध की उपस्थिति में), तो ओएलएस अब ब्लू नहीं रह जाता है, और सामान्यीकृत न्यूनतम वर्ग (जीएलएस) जैसे वैकल्पिक अनुमानक अधिक कुशल हो सकते हैं।

गुणवत्ता नियंत्रण, गुणवत्ता प्रबंधन, सांख्यिकीय विश्लेषण, सांख्यिकीय प्रक्रिया नियंत्रण (SPC), सांख्यिकीय परीक्षण

UNESCO Nomenclature: 1209

सांख्यिकी

Type

सार प्रणाली

व्यवधान

मूलभूत

उपयोग

व्यापक उपयोग

शगुन

न्यूनतम वर्ग विधि (गॉस विधि)
प्रायिकता सिद्धांत (अपेक्षा और विचरण की अवधारणाएँ)
रैखिक बीजगणित और मैट्रिक्स सिद्धांत
अनुमान के सिद्धांत पर प्रारंभिक कार्य

आवेदन

कई व्यावहारिक परिदृश्यों में ओएलएस के उपयोग के लिए सैद्धांतिक औचित्य प्रदान करना।
रैखिक मॉडलों में सांख्यिकीय अनुमान (विश्वास अंतराल, परिकल्पना परीक्षण) के लिए एक आधार के रूप में कार्य करना
अन्य, अधिक जटिल अनुमानकों की दक्षता की तुलना करने के लिए एक सैद्धांतिक मानदंड के रूप में कार्य करना

पेटेंट:

संभावित नवाचार विचार

बॉट ट्रैफिक को कम करने के कारण, जो वर्तमान में प्रति दिन 40,000 से अधिक है, यह सामग्री केवल समुदाय के सदस्यों के लिए आरक्षित है।
> लॉगिन < या > रजिस्टर < इस सामग्री और अन्य सभी प्रतिबंधित सामग्रियों और उपकरणों तक पहुंच (100% निःशुल्क) है।

संबंधित विषय: गॉस-मार्कोव प्रमेय, ब्लू, सर्वश्रेष्ठ रैखिक निष्पक्ष अनुमानक, ओएलएस, समरूपता, असंबंधित त्रुटियां, न्यूनतम विचरण, सांख्यिकीय अनुमान, रैखिक मॉडल मान्यताएं, अर्थमिति।

ऐतिहासिक संदर्भ

एक लकड़ी की मेज जिस पर बहीखाता, कलम और ब्लैकबोर्ड रखा है, जिस पर बूलियन बीजगणित के लॉजिक गेट्स दिखाए गए हैं।

डिजिटल लॉजिक में बूलियन बीजगणित

डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक्स, जॉर्ज बूले द्वारा प्रतिपादित गणितीय तर्क प्रणाली, बूलियन बीजगणित पर आधारित है। इसमें आमतौर पर दो मान, 0 और 1 (या असत्य और सत्य), और तीन मूलभूत संक्रियाएँ उपयोग की जाती हैं: AND (संयोजन), OR (वियोजन), और NOT (निषेध)। ये संक्रियाएँ सीधे उन लॉजिक गेट्स से संबंधित होती हैं जो सभी डिजिटल परिपथों के मूलभूत घटक होते हैं।

एक गणितज्ञ का कार्यक्षेत्र जो स्थलीय आरेखों और विरूपण उदाहरणों के साथ समरूपता को प्रदर्शित करता है।

होमियोमॉर्फिज्म

होमियोमॉर्फिज्म दो टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच एक सतत फलन होता है जिसका एक सतत व्युत्क्रम फलन भी होता है। दो टोपोलॉजिकल स्पेस को होमियोमॉर्फिक कहा जाता है यदि ऐसा फलन मौजूद हो। टोपोलॉजिकल दृष्टिकोण से, होमियोमॉर्फिक स्पेस एक समान होते हैं। यह अवधारणा इस विचार को समाहित करती है कि किसी वस्तु को बिना फाड़े या चिपकाए खींचा, मोड़ा या विकृत किया जा सकता है, जैसे कॉफी मग को डोनट में बदलना।

सिग्नल प्रोसेसिंग प्रयोगशाला असंतुलन बिंदुओं पर फूरियर श्रृंखला के व्यवहार का विश्लेषण कर रही है।

गिब्स घटना

गिब्स घटना, जंप असंतुलन पर फूरियर श्रृंखला के व्यवहार का वर्णन करती है। श्रृंखला के आंशिक योग जंप के पास एक अतिवृद्धि दर्शाते हैं, जो अधिक पद जोड़ने पर भी गायब नहीं होती। यह अतिवृद्धि श्रृंखला में पदों की संख्या की परवाह किए बिना, जंप की ऊँचाई के लगभग 9% के स्थिर मान पर अभिसरित होती है।

गॉस-मार्कोव प्रमेय

Mathematician demonstrating Brouwer Fixed-Point Theorem with a crumpled map in an office.

ब्राउवर स्थिर-बिंदु प्रमेय

यह प्रमेय बताता है कि किसी भी सतत फलन [latex]f[/latex] के लिए जो एक संकुचित उत्तल समुच्चय को स्वयं पर परावर्तित करता है, एक बिंदु [latex]x_0[/latex] होता है जैसे कि [latex]f(x_0) = x_0[/latex]। इस बिंदु को स्थिर बिंदु कहा जाता है। सरल शब्दों में, यदि आप किसी देश का नक्शा लें, उसे मोड़ें और देश की सीमाओं के भीतर रखें, तो नक्शे पर हमेशा कम से कम एक बिंदु ऐसा होगा जो उसके वास्तविक स्थान के ठीक ऊपर होगा।

Mathematics office showcasing Zermelo–Fraenkel set theory discussions.

ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी (ZFC)

ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत, जिसे आमतौर पर ZFC (चयन के स्वयंसिद्ध के साथ) के रूप में संक्षिप्त किया जाता है, समकालीन गणित के लिए मानक स्वयंसिद्ध प्रणाली है। इसमें प्रथम-कोटि तर्क में व्यक्त स्वयंसिद्धों का एक संग्रह होता है, जो सेटों के गुणों को औपचारिक रूप देता है। आज उपयोग में आने वाले लगभग सभी गणितीय प्रमेयों को ZFC के भीतर सूत्रबद्ध और सिद्ध किया जा सकता है।

Statistician analyzing data in a 1920s office, focusing on variance partitioning.

विचरण का विभाजन (ANOVA)

विचरण विश्लेषण (ANOVA) एक सांख्यिकीय विधि है जो डेटा सेट में देखी गई कुल परिवर्तनशीलता को विभिन्न स्रोतों से उत्पन्न घटकों में विभाजित करती है। इसका मूल विचार विभिन्न समूहों के माध्यों के बीच के विचरण की तुलना उन समूहों के भीतर के विचरण से करना है। यदि समूहों के बीच का विचरण काफी अधिक है, तो यह दर्शाता है कि समूहों के माध्य वास्तव में भिन्न हैं।

1854

1895

1899

1900

1911

1922

1925

1854

1884

1896

1900

1903

1914

1924

1925

रीमैनियन ज्यामिति

रीमैनियन ज्यामिति, अवकल ज्यामिति की वह शाखा है जो रीमैनियन मैनिफोल्ड्स का अध्ययन करती है—ये चिकने मैनिफोल्ड्स होते हैं जिनमें रीमैनियन मीट्रिक होता है। यह मीट्रिक स्पर्शरेखा क्षेत्रों पर आंतरिक गुणनफलों का एक संग्रह है, जो एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक सुचारू रूप से बदलता रहता है। यह कोण, वक्रों की लंबाई, पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन जैसी स्थानीय ज्यामितीय अवधारणाओं को परिभाषित करने की अनुमति देता है, जिससे वक्रता की एक सामान्यीकृत अवधारणा प्राप्त होती है।

रैंक-शून्यता प्रमेय

रेखीय बीजगणित में, रैंक-शून्यता प्रमेय यह बताता है कि परिमित-आयामी सदिश स्थानों के बीच किसी भी रेखीय मानचित्र [latex]T: V to W[/latex] के लिए, उसके डोमेन [latex]V[/latex] का आयाम उसकी रैंक (उसकी छवि का आयाम) और उसकी शून्यता (उसके कर्नेल का आयाम) का योग होता है। सूत्र है [latex]dim(V) = text{rank}(T) + text{nullity}(T)[/latex]।

गणित के कागजात और अभाज्य संख्या सिद्धांत से संबंधित एक प्राचीन कैलकुलेटर से सुसज्जित एक पुराना कार्यालय।

अभाज्य संख्या प्रमेय

अभाज्य संख्या प्रमेय पूर्णांकों के बीच अभाज्य संख्याओं के स्पर्शोन्मुख वितरण का वर्णन करता है। यह बताता है कि अभाज्य संख्याओं की गणना करने वाला फलन [latex]pi(x)[/latex], जो [latex]x[/latex] से कम या उसके बराबर अभाज्य संख्याओं की संख्या देता है, स्पर्शोन्मुख रूप से [latex]x / ln(x)[/latex] के समतुल्य है। औपचारिक रूप से, [latex]lim_{x to infty} frac{pi(x)}{x/ln(x)} = 1[/latex]। यह अभाज्य संख्याओं और प्राकृतिक लघुगणक के बीच एक मूलभूत संबंध स्थापित करता है।

एक सांख्यिकीविद् कार्यालय के माहौल में प्रतिगमन मॉडल डेटा का विश्लेषण कर रहा है।

निर्धारण गुणांक (R²)

एक सांख्यिकी जो मॉडल की उपयुक्तता को दर्शाती है, यह आश्रित चर में भिन्नता के उस अनुपात को दर्शाती है जिसे स्वतंत्र चर से अनुमानित किया जा सकता है। R² का मान 1 होने पर पूर्ण उपयुक्तता का संकेत मिलता है, जबकि 0 होने पर कोई रैखिक संबंध नहीं होता है। इसकी गणना [latex]R² equiv 1 - frac{SS_{res}}{SS_{tot}}[/latex] सूत्र से की जाती है, जहाँ [latex]SS_{res}[/latex] अवशिष्ट वर्गों का योग है।

फ्रेडहोम सूचकांक

फ्रेडहोम सूचकांक, रैंक-शून्यता प्रमेय को बानाच स्पेस जैसे अनंत-आयामी स्पेस तक विस्तारित करता है। फ्रेडहोम ऑपरेटर [latex]T: X to Y[/latex] के लिए, इसका सूचकांक [latex]text{ind}(T) = dim(ker(T)) - dim(text{coker}(T))[/latex] के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहाँ कोकर्नेल का आयाम यह मापता है कि छवि संपूर्ण स्पेस से कितनी दूर है। ऑपरेटर में छोटे-मोटे बदलावों के बावजूद यह सूचकांक एक स्थिर पूर्णांक मान होता है।

Mathematician's desk with topology textbook and chalkboard, representing topological space.

स्थलीय स्थान

एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक क्रमित युग्म [latex](X, tau)[/latex] होता है, जहाँ [latex]X[/latex] एक समुच्चय है और [latex]tau[/latex], [latex]X[/latex] के उपसमुच्चयों का एक संग्रह है, जिन्हें खुले समुच्चय कहा जाता है, जो तीन अभिधारणाओं को संतुष्ट करते हैं: 1) रिक्त समुच्चय [latex]emptyset[/latex] और स्वयं [latex]X[/latex], [latex]tau[/latex] में हैं। 2) [latex]tau[/latex] में किसी भी संख्या में समुच्चयों का संघ भी [latex]tau[/latex] में होता है। 3) [latex]tau[/latex] में किसी भी परिमित संख्या में समुच्चयों का प्रतिच्छेदन भी [latex]tau[/latex] में होता है।

गुणवत्ता नियंत्रण में प्रक्रिया निगरानी के लिए श्वहार्ट नियंत्रण चार्ट।.

शेवर्ट नियंत्रण चार्ट

एसपीसी में समय के साथ किसी प्रक्रिया चर की निगरानी के लिए उपयोग किया जाने वाला एक ग्राफिकल टूल। यह प्रक्रिया औसत का प्रतिनिधित्व करने वाली केंद्रीय रेखा (सीएल) और ऊपरी (यूसीएल) और निचली (एलसीएल) नियंत्रण सीमाओं के बीच डेटा बिंदुओं को प्लॉट करता है। ये सीमाएँ आमतौर पर माध्य से तीन मानक विचलन (μ ± 3 σ) पर निर्धारित की जाती हैं, जो अपेक्षित सामान्य कारण भिन्नता की सीमा को परिभाषित करती हैं।

Statistician analyzing one-way ANOVA results in a modern office setting.

एकतरफ़ा विचरण विश्लेषण (एनोवा)

वन-वे एनोवा का उपयोग तीन या दो से अधिक स्वतंत्र समूहों के माध्यों के बीच सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण अंतर हैं या नहीं, यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है। यह एक सतत आश्रित चर पर एक एकल श्रेणीबद्ध स्वतंत्र चर (जिसे कारक कहा जाता है) के प्रभाव का विश्लेषण करता है। शून्य परिकल्पना यह बताती है कि सभी समूह माध्य बराबर हैं, [latex]H_0: mu_1 = mu_2 = dots = mu_k[/latex]।

(यदि तिथि अज्ञात है या प्रासंगिक नहीं है, उदाहरण के लिए "द्रव यांत्रिकी", तो इसके उल्लेखनीय उद्भव का एक अनुमानित आंकड़ा प्रदान किया गया है)