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पाइथागोरस प्रमेय

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  • Pythagoras of Samos
ज्यामिति में पाइथागोरस प्रमेय को दर्शाता हुआ समकोण त्रिभुज।.

(यह छवि केवल उदाहरण के लिए बनाई गई है)

पाइथागोरस प्रमेय यूक्लिड ज्यामिति में समकोण त्रिभुज की तीनों भुजाओं के बीच एक मूलभूत संबंध है। यह बताता है कि जिस वर्ग की भुजा कर्ण (समकोण के सामने वाली भुजा) होती है, उसका क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं पर बने वर्गों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है। सूत्र को [latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex] के रूप में व्यक्त किया जाता है।

इस प्रमेय का नाम यूनानी गणितज्ञ पाइथागोरस के नाम पर रखा गया है, लेकिन प्रमाण बताते हैं कि यह संबंध बेबीलोन और मिस्र जैसी प्राचीन सभ्यताओं को भी ज्ञात था, जिन्होंने इसका उपयोग सर्वेक्षण और निर्माण जैसे व्यावहारिक कार्यों के लिए किया था। हालांकि, पाइथागोरस के अनुयायियों को इस प्रमेय के पहले औपचारिक प्रमाण का श्रेय दिया जाता है, जिन्होंने इसे एक व्यावहारिक अवलोकन से एक निगमनात्मक प्रणाली के भीतर गणितीय निश्चितता के स्तर तक पहुँचाया। इस प्रमेय के सैकड़ों ज्ञात प्रमाण हैं, जिनमें से कुछ ज्यामितीय और कुछ बीजगणितीय हैं, जो इसकी गहन और बहुआयामी प्रकृति को दर्शाते हैं।

The theorem is a special case of the more general law of cosines, [latex]c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos(\gamma)[/latex], which relates the lengths of the sides of any triangle. When the angle [latex]\gamma[/latex] is a right angle (90 degrees or [latex]\pi/2[/latex] radians), its cosine is 0, and the formula simplifies to the Pythagorean theorem. The theorem also defines the Euclidean distance between two points in a Cartesian coordinate system. If two points have coordinates [latex](x_1, y_1)[/latex] and [latex](x_2, y_2)[/latex], the distance [latex]d[/latex] between them is given by [latex]d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}[/latex], which is a direct application of the theorem.

UNESCO Nomenclature: 1204
ज्यामिति

Type

सार प्रणाली

व्यवधान

मूलभूत

उपयोग

व्यापक उपयोग

शगुन

  • बेबीलोन की मिट्टी की गोलियाँ (जैसे, प्लिम्पटन 322) पाइथागोरस के त्रिकों के ज्ञान को दर्शाती हैं।
  • निर्माण में समकोण बनाने के लिए मिस्र की रस्सी खींचने की तकनीक
  • रेखाओं, कोणों और क्षेत्रों की प्रारंभिक यूनानी ज्यामितीय अवधारणाएँ

आवेदन

  • निर्माण और बढ़ईगिरी (उदाहरण के लिए, चौकोर कोने सुनिश्चित करना)
  • स्थान निर्धारण के लिए नौवहन और त्रिकोणीकरण
  • वेक्टरों से संबंधित भौतिकी गणनाएँ
  • दूरी की गणना के लिए कंप्यूटर ग्राफिक्स
  • अपराध स्थल पुनर्निर्माण के लिए फोरेंसिक विज्ञान

पेटेंट:

NA

संभावित नवाचार विचार

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संबंधित विषय: पाइथागोरस प्रमेय, समकोण त्रिभुज, कर्ण, यूक्लिडियन दूरी, ज्यामिति, त्रिकोणमिति, a²+b²=c², प्रमाण।

ऐतिहासिक संदर्भ

Stone carving of Triangle Angle Sum Theorem illustrating angle measures in Euclidean geometry.

त्रिभुज कोण योग प्रमेय

यूक्लिडियन ज्यामिति का एक मूलभूत प्रमेय यह बताता है कि किसी भी त्रिभुज के तीनों आंतरिक कोणों का योग हमेशा दो समकोण, यानी 180 डिग्री के बराबर होता है। यह गुणधर्म, [latex]alpha + beta + gamma = 180^circ[/latex], समांतर अभिधारणा का प्रत्यक्ष परिणाम है और एक समतल, यूक्लिडियन तल में स्थित सभी त्रिभुजों के लिए, उनके आकार या आकृति की परवाह किए बिना, सत्य है।
Scholar writing direct proof in ancient library, mathematical logic discipline.

प्रत्यक्ष प्रमाण (गणित)

प्रत्यक्ष प्रमाण किसी दिए गए कथन की सत्यता को स्थापित तथ्यों, आमतौर पर स्वयंसिद्धों, परिभाषाओं और पूर्व सिद्ध प्रमेयों के सीधे संयोजन द्वारा सिद्ध करने की विधि है। किसी सशर्त कथन [latex]p rightarrow q[/latex] को सिद्ध करने के लिए, यह मान लिया जाता है कि [latex]p[/latex] सत्य है और अनुमान के नियमों का उपयोग करके यह दिखाया जाता है कि [latex]q[/latex] भी सत्य होना चाहिए।
Scholar engaged in proof by contradiction in an ancient library setting.

विरोधाभास द्वारा प्रमाण (बेतुकेपन की स्थिति तक सीमित करना)

विरोधाभास द्वारा प्रमाण, या रिडक्टियो एड एब्सर्डम, अप्रत्यक्ष प्रमाण का एक रूप है। यह किसी कथन की सत्यता को यह दर्शाकर स्थापित करता है कि किसी कथन को असत्य मानने से तार्किक विरोधाभास उत्पन्न होता है। किसी कथन p को सिद्ध करने के लिए, उसके निषेध, ऋणात्मक p को माना जाता है और q और ऋणात्मक q जैसे विरोधाभास को निकाला जाता है, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि p सत्य होना चाहिए।

पाइथागोरस प्रमेय

ऐतिहासिक अध्ययन संदर्भ में ज्यामितीय आकृतियों के साथ कैवलिएरी सिद्धांत का गणितीय व्युत्क्रमण।.

कैवलियरी का सिद्धांत

अविभाज्य विधि के नाम से भी जाना जाने वाला यह सिद्धांत कहता है कि यदि दो समांतर तलों के बीच स्थित दो ठोसों में यह गुण हो कि उन दोनों तलों के समांतर प्रत्येक तल उन्हें समान क्षेत्रफल वाले अनुप्रस्थ काटों से काटता है, तो दोनों ठोसों का आयतन बराबर होता है। यह कैलकुलस के बिना जटिल आकृतियों के आयतन की गणना करने की एक शक्तिशाली विधि प्रदान करता है।
यूक्लिडियन दूरी की गणनाओं और ऐतिहासिक संदर्भ के साथ विश्लेषणात्मक ज्यामिति कार्यक्षेत्र।.

यूक्लिडियन दूरी

पाइथागोरस प्रमेय कार्तीय निर्देशांकों में दूरी सूत्र का आधार प्रदान करता है। एक समतल में दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी d को √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² द्वारा दर्शाया जाता है। यह सूत्र समकोण त्रिभुज पर प्रमेय का सीधा अनुप्रयोग है, जिसकी भुजाएँ x और y निर्देशांकों का अंतर होती हैं।
कोनिग्सबर्ग पुल समस्या का मानचित्र जो यूलर के ग्राफ सिद्धांत की नींव को दर्शाता है।.

कोनिग्सबर्ग के सात पुल

यह गणित में ऐतिहासिक रूप से उल्लेखनीय समस्या है। लियोनहार्ड यूलर द्वारा 1736 में इसका नकारात्मक समाधान ग्राफ सिद्धांत की नींव रखने और टोपोलॉजी के विचार का पूर्वाभास देने वाला साबित हुआ। इस समस्या में पूछा गया था कि क्या कोनिग्सबर्ग शहर के सातों पुलों को बिना वापस लौटे एक ही यात्रा में पार किया जा सकता है, और यात्रा उसी भूभाग पर समाप्त हो जहाँ से शुरू हुई थी।
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Carved stone tablet with Euclid's Parallel Postulate and geometric diagram.

समांतर अभिधारणा (यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा)

यूक्लिड का पाँचवाँ अभिधारणा, समांतर अभिधारणा, वह स्वयंसिद्ध सिद्धांत है जो यूक्लिड की ज्यामिति को परिभाषित करता है: यह बताता है कि यदि कोई रेखा दो अन्य रेखाओं को काटती है, और एक तरफ के आंतरिक कोणों का योग दो समकोण (α + β < 180°) से कम है, तो दोनों रेखाएँ अंततः उस तरफ एक दूसरे को काटेंगी। यह अभिधारणा किसी दी गई रेखा पर स्थित न होने वाले बिंदु से होकर गुजरने वाली एक अद्वितीय समांतर रेखा की गारंटी देती है।
Euclid of Alexandria deriving Pythagorean triples in an ancient study.

पाइथागोरस त्रिक

पाइथागोरस त्रिक में तीन धनात्मक पूर्णांक a, b और c होते हैं, इस प्रकार कि [latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex]। इसका एक प्रसिद्ध उदाहरण (3, 4, 5) है। यूक्लिड का सूत्र इन त्रिकों को उत्पन्न करने की एक मूलभूत विधि है। किन्हीं भी दो धनात्मक पूर्णांक m और n के लिए, जहाँ [latex]m > n[/latex], सूत्र [latex]a = m^2 - n^2[/latex], [latex]b = 2mn[/latex], [latex]c = m^2 + n^2[/latex] एक पाइथागोरस त्रिक उत्पन्न करता है।
Five Platonic solids: tetrahedron, cube, octahedron, dodecahedron, icosahedron in geometry.

पाँच प्लेटोनिक ठोस

प्लेटोनिक ठोस पाँच उत्तल नियमित बहुफलक हैं: एक नियमित बहुफलक में सर्वांगसम नियमित बहुभुजीय फलक होते हैं और प्रत्येक शीर्ष पर समान संख्या में फलक मिलते हैं। ये पाँच ठोस हैं: चतुष्फलक (4 फलक), घन (6 फलक), अष्टफलक (8 फलक), द्वादशफलक (12 फलक) और विंशफलक (20 फलक)। इनकी समरूपता और गुणों का अध्ययन प्राचीन काल से किया जा रहा है।
Stone tablet inscribed with the proof of the irrationality of the square root of 2.

2 के वर्गमूल की अपरिमेयता

2 का वर्गमूल एक अपरिमेय संख्या है, जिसका अर्थ है कि इसे दो पूर्णांकों के अनुपात [latex]p/q[/latex] के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। इसका प्रचलित प्रमाण, जिसे अक्सर पाइथागोरसवादियों से जोड़ा जाता है, विरोधाभास द्वारा सिद्ध किया जाता है: यह सबसे सरल रूप में [latex]√2 = p/q[/latex] मानता है, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि [latex]p[/latex] और [latex]q[/latex] दोनों सम संख्याएँ होनी चाहिए, जो प्रारंभिक धारणा का खंडन करता है।
ट्रिगोनोमेट्रिक पहचानों के लिए ज्यामितीय आरेखों सहित टोलेमी प्रमेय को दर्शाता प्राचीन पांडुलिपि।.

टॉलेमी का प्रमेय और त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

टॉलेमी का प्रमेय त्रिकोणमिति में योग और अंतर सूत्रों के लिए एक सुंदर ज्यामितीय प्रमाण प्रदान करता है। एक चतुर्भुज को एक वृत्त में इस प्रकार अंकित करके कि उसकी एक भुजा व्यास हो, भुजाओं की लंबाई को अंतर्निहित कोणों के साइन और कोसाइन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। प्रमेय [latex]AC cdot BD = AB cdot CD + BC cdot DA[/latex] को सीधे लागू करने पर [latex]sin(alpha + beta) = sinalphacosbeta + cosalphasinbeta[/latex] जैसी सर्वसमिकाएँ प्राप्त होती हैं।
व्यावसायिक कार्यालय परिवेश में विश्लेषणात्मक ज्यामिति के लिए कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली का मॉडल।.

कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली

कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए एक बीजगणितीय मॉडल प्रदान करती है। यह अंतरिक्ष में किसी बिंदु की स्थिति को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए एक या अधिक संख्याओं, या निर्देशांकों का उपयोग करती है। एक समतल में, दो लंबवत रेखाओं (x-अक्ष और y-अक्ष) का उपयोग किया जाता है, जिससे ज्यामितीय आकृतियों को बीजगणितीय समीकरणों द्वारा वर्णित किया जा सकता है। बीजगणित और ज्यामिति के इस संयोजन को विश्लेषणात्मक ज्यामिति के रूप में जाना जाता है।
गणितज्ञ द्वारा गणितीय अनुवर्तन का उपयोग करके गुणों को सिद्ध करते हुए अध्ययन कक्ष।.

गणितीय प्रेरण द्वारा प्रमाण

गणितीय प्रेरण एक ऐसी तकनीक है जिसका उपयोग यह सिद्ध करने के लिए किया जाता है कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए एक गुणधर्म P(n) सत्य है। इसमें दो चरण शामिल हैं: आधार चरण, जिसमें P(0) या P(1) सत्य सिद्ध किया जाता है, और प्रेरण चरण, जिसमें यह सिद्ध किया जाता है कि यदि किसी प्राकृतिक संख्या k के लिए P(k) सत्य है (प्रेरण परिकल्पना), तो P(k+1) भी सत्य होगा।
जीन ले रोंड डालेम्बर्ट एक ऐतिहासिक कार्यालयीन परिवेश में तरंग समीकरण का विकास करते हुए।.

तरंग समीकरण (भौतिकी)

यह द्वितीय क्रम का रैखिक अतिपरवलयिक आंशिक अवकल समीकरण है जो विभिन्न प्रकार की तरंगों के प्रसार को नियंत्रित करता है। इसे सरलतम रूप में [latex]frac{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 nabla^2 u[/latex] के रूप में लिखा जाता है, जहाँ [latex]u(vec{x},t)[/latex] तरंग का आयाम है, [latex]c[/latex] तरंग की गति है, और [latex]nabla^2[/latex] लाप्लास प्रवर्तक है। यह कंपनशील तार, ध्वनि तरंगें और प्रकाश तरंगें जैसी घटनाओं का प्रतिरूपण करता है।

(यदि तिथि अज्ञात है या प्रासंगिक नहीं है, उदाहरण के लिए "द्रव यांत्रिकी", तो इसके उल्लेखनीय उद्भव का एक अनुमानित आंकड़ा प्रदान किया गया है)

संबंधित आविष्कार, नवाचार और तकनीकी सिद्धांत

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