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2 के वर्गमूल की अपरिमेयता

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Hippasus of Metapontum

(यह छवि केवल उदाहरण के लिए बनाई गई है)

द वर्गमूल 2 एक अपरिमेय संख्याइसका अर्थ है कि इसे दो पूर्णांकों [latex]p/q[/latex] के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। इसका क्लासिक प्रमाण, जिसे अक्सर पाइथागोरसवादियों से जोड़ा जाता है, विरोधाभास द्वारा प्रमाण है: यह सबसे सरल रूप में [latex]sqrt{2} = p/q[/latex] मानता है, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि [latex]p[/latex] और [latex]q[/latex] दोनों सम होने चाहिए, जो प्रारंभिक धारणा का खंडन करता है।

The proof of the irrationality of [latex]\sqrt{2}[/latex] is a cornerstone of number theory and a classic example of reductio ad absurdum. The argument proceeds as follows: First, assume that [latex]\sqrt{2}[/latex] is a rational number. By definition, this means there exist two integers, [latex]p[/latex] and [latex]q[/latex] with no common factors other than 1, such that [latex]\sqrt{2} = p/q[/latex]. Squaring both sides gives [latex]2 = p^2/q^2[/latex], which can be rearranged to [latex]2q^2 = p^2[/latex].

यह समीकरण दर्शाता है कि p² एक सम संख्या है, क्योंकि यह 2 का गुणज है। एक महत्वपूर्ण प्रमेय यह है कि यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक स्वयं भी सम होना चाहिए। इसलिए, p सम है। इसका अर्थ है कि p को किसी पूर्णांक k के लिए 2k के रूप में लिखा जा सकता है। p=2k को समीकरण 2q² = p² में रखने पर 2q² = (2k)² = 4k² प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर q² = 2k² प्राप्त होता है।

यह नया समीकरण दर्शाता है कि q² भी एक सम संख्या है, और इसी प्रमेय के अनुसार, q भी सम होना चाहिए। यह निष्कर्ष कि p और q दोनों सम हैं, उस प्रारंभिक धारणा का खंडन करता है कि p/q भिन्न अपने सरलतम रूप में था (अर्थात, p और q में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं थे)। चूंकि प्रारंभिक धारणा विरोधाभास की ओर ले जाती है, इसलिए यह धारणा गलत होनी चाहिए। अतः, √2 एक परिमेय संख्या नहीं हो सकती और अपरिमेय है। यह खोज ग्रीक गणित के लिए क्रांतिकारी थी, जो इस आधार पर निर्मित थी कि सभी ज्यामितीय परिमाणों की तुलना पूर्णांकों के अनुपात के रूप में की जा सकती है।

प्रसरण का विश्लेषण (एनोवा), डिज़ाइन थिंकिंग, इंजीनियरिंग, गणित, प्रूफ ऑफ कॉन्सेप्ट (पीओसी), गुणवत्ता नियंत्रण, सांख्यिकीय विश्लेषण

UNESCO Nomenclature: 1205

संख्या सिद्धांत

Type

सार प्रणाली

व्यवधान

क्रांतिकारी

उपयोग

व्यापक उपयोग

शगुन

पूर्णांकों और परिमेय संख्याओं (अनुपातों) की अवधारणा
तर्कशास्त्र के बुनियादी सिद्धांत, जिनमें विरोधाभास द्वारा प्रमाण (रिडक्टियो एड एब्सर्डम) भी शामिल है।
सम और विषम संख्याओं की समझ
पाइथागोरस प्रमेय, जिसने ज्यामितीय रूप से लंबाई का निर्धारण किया।

आवेदन

वास्तविक संख्या सिद्धांत का विकास
गणितीय विश्लेषण की नींव
ज्यामिति में अतुलनीय परिमाणों की समझ
संख्याओं और वास्तविकता की समझ में दार्शनिक बदलाव

पेटेंट:

संभावित नवाचार विचार

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संबंधित विषय: अपरिमेय संख्या, विरोधाभास द्वारा प्रमाण, पाइथागोरस का मत, हिप्पासुस, अतुलनीयता, संख्या सिद्धांत, 2 का वर्गमूल, पूर्णांक, अनुपात, ग्रीक गणित।

ऐतिहासिक संदर्भ

Carved stone tablet with Euclid's Parallel Postulate and geometric diagram.

समांतर अभिधारणा (यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा)

यूक्लिड का पाँचवाँ अभिधारणा, समांतर अभिधारणा, वह स्वयंसिद्ध सिद्धांत है जो यूक्लिड की ज्यामिति को परिभाषित करता है: यह बताता है कि यदि कोई रेखा दो अन्य रेखाओं को काटती है, और एक तरफ के आंतरिक कोणों का योग दो समकोण (α + β < 180°) से कम है, तो दोनों रेखाएँ अंततः उस तरफ एक दूसरे को काटेंगी। यह अभिधारणा किसी दी गई रेखा पर स्थित न होने वाले बिंदु से होकर गुजरने वाली एक अद्वितीय समांतर रेखा की गारंटी देती है।

Euclid of Alexandria deriving Pythagorean triples in an ancient study.

पाइथागोरस त्रिक

पाइथागोरस त्रिक में तीन धनात्मक पूर्णांक a, b और c होते हैं, इस प्रकार कि [latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex]। इसका एक प्रसिद्ध उदाहरण (3, 4, 5) है। यूक्लिड का सूत्र इन त्रिकों को उत्पन्न करने की एक मूलभूत विधि है। किन्हीं भी दो धनात्मक पूर्णांक m और n के लिए, जहाँ [latex]m > n[/latex], सूत्र [latex]a = m^2 - n^2[/latex], [latex]b = 2mn[/latex], [latex]c = m^2 + n^2[/latex] एक पाइथागोरस त्रिक उत्पन्न करता है।

Five Platonic solids: tetrahedron, cube, octahedron, dodecahedron, icosahedron in geometry.

पाँच प्लेटोनिक ठोस

प्लेटोनिक ठोस पाँच उत्तल नियमित बहुफलक हैं: एक नियमित बहुफलक में सर्वांगसम नियमित बहुभुजीय फलक होते हैं और प्रत्येक शीर्ष पर समान संख्या में फलक मिलते हैं। ये पाँच ठोस हैं: चतुष्फलक (4 फलक), घन (6 फलक), अष्टफलक (8 फलक), द्वादशफलक (12 फलक) और विंशफलक (20 फलक)। इनकी समरूपता और गुणों का अध्ययन प्राचीन काल से किया जा रहा है।

2 के वर्गमूल की अपरिमेयता

ट्रिगोनोमेट्रिक पहचानों के लिए ज्यामितीय आरेखों सहित टोलेमी प्रमेय को दर्शाता प्राचीन पांडुलिपि।.

टॉलेमी का प्रमेय और त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

टॉलेमी का प्रमेय त्रिकोणमिति में योग और अंतर सूत्रों के लिए एक सुंदर ज्यामितीय प्रमाण प्रदान करता है। एक चतुर्भुज को एक वृत्त में इस प्रकार अंकित करके कि उसकी एक भुजा व्यास हो, भुजाओं की लंबाई को अंतर्निहित कोणों के साइन और कोसाइन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। प्रमेय [latex]AC cdot BD = AB cdot CD + BC cdot DA[/latex] को सीधे लागू करने पर [latex]sin(alpha + beta) = sinalphacosbeta + cosalphasinbeta[/latex] जैसी सर्वसमिकाएँ प्राप्त होती हैं।

कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली

कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए एक बीजगणितीय मॉडल प्रदान करती है। यह अंतरिक्ष में किसी बिंदु की स्थिति को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए एक या अधिक संख्याओं, या निर्देशांकों का उपयोग करती है। एक समतल में, दो लंबवत रेखाओं (x-अक्ष और y-अक्ष) का उपयोग किया जाता है, जिससे ज्यामितीय आकृतियों को बीजगणितीय समीकरणों द्वारा वर्णित किया जा सकता है। बीजगणित और ज्यामिति के इस संयोजन को विश्लेषणात्मक ज्यामिति के रूप में जाना जाता है।

गणितज्ञ द्वारा गणितीय अनुवर्तन का उपयोग करके गुणों को सिद्ध करते हुए अध्ययन कक्ष।.

गणितीय प्रेरण द्वारा प्रमाण

गणितीय प्रेरण एक ऐसी तकनीक है जिसका उपयोग यह सिद्ध करने के लिए किया जाता है कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए एक गुणधर्म P(n) सत्य है। इसमें दो चरण शामिल हैं: आधार चरण, जिसमें P(0) या P(1) सत्य सिद्ध किया जाता है, और प्रेरण चरण, जिसमें यह सिद्ध किया जाता है कि यदि किसी प्राकृतिक संख्या k के लिए P(k) सत्य है (प्रेरण परिकल्पना), तो P(k+1) भी सत्य होगा।

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Stone tablet inscribed with Euclid's Postulates, foundational to geometry.

यूक्लिड के अभिधारणाएँ

यूक्लिड के पाँच अभिधारणाएँ उनके ग्रंथ 'एलिमेंट्स' में वर्णित यूक्लिडियन ज्यामिति का मूलभूत आधार बनती हैं। ये वे मूलभूत मान्यताएँ हैं जिनसे अन्य सभी प्रमेय तार्किक रूप से व्युत्पन्न होते हैं। पहली चार अभिधारणाएँ रेखाओं और वृत्तों के निर्माण से संबंधित हैं, जबकि पाँचवीं, समांतर अभिधारणा, यूक्लिडियन अंतरिक्ष की समतल, गैर-वक्र प्रकृति को विशिष्ट रूप से परिभाषित करती है। इन अभिधारणाओं ने गणित में निगमनात्मक विधि की स्थापना की।

Stone carving of Triangle Angle Sum Theorem illustrating angle measures in Euclidean geometry.

त्रिभुज कोण योग प्रमेय

यूक्लिडियन ज्यामिति का एक मूलभूत प्रमेय यह बताता है कि किसी भी त्रिभुज के तीनों आंतरिक कोणों का योग हमेशा दो समकोण, यानी 180 डिग्री के बराबर होता है। यह गुणधर्म, [latex]alpha + beta + gamma = 180^circ[/latex], समांतर अभिधारणा का प्रत्यक्ष परिणाम है और एक समतल, यूक्लिडियन तल में स्थित सभी त्रिभुजों के लिए, उनके आकार या आकृति की परवाह किए बिना, सत्य है।

Scholar writing direct proof in ancient library, mathematical logic discipline.

प्रत्यक्ष प्रमाण (गणित)

प्रत्यक्ष प्रमाण किसी दिए गए कथन की सत्यता को स्थापित तथ्यों, आमतौर पर स्वयंसिद्धों, परिभाषाओं और पूर्व सिद्ध प्रमेयों के सीधे संयोजन द्वारा सिद्ध करने की विधि है। किसी सशर्त कथन [latex]p rightarrow q[/latex] को सिद्ध करने के लिए, यह मान लिया जाता है कि [latex]p[/latex] सत्य है और अनुमान के नियमों का उपयोग करके यह दिखाया जाता है कि [latex]q[/latex] भी सत्य होना चाहिए।

Scholar engaged in proof by contradiction in an ancient library setting.

विरोधाभास द्वारा प्रमाण (बेतुकेपन की स्थिति तक सीमित करना)

विरोधाभास द्वारा प्रमाण, या रिडक्टियो एड एब्सर्डम, अप्रत्यक्ष प्रमाण का एक रूप है। यह किसी कथन की सत्यता को यह दर्शाकर स्थापित करता है कि किसी कथन को असत्य मानने से तार्किक विरोधाभास उत्पन्न होता है। किसी कथन p को सिद्ध करने के लिए, उसके निषेध, ऋणात्मक p को माना जाता है और q और ऋणात्मक q जैसे विरोधाभास को निकाला जाता है, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि p सत्य होना चाहिए।

पाइथागोरस प्रमेय

पाइथागोरस प्रमेय यूक्लिड ज्यामिति में समकोण त्रिभुज की तीनों भुजाओं के बीच एक मूलभूत संबंध है। यह बताता है कि जिस वर्ग की भुजा कर्ण (समकोण के सामने वाली भुजा) होती है, उसका क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं पर बने वर्गों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है। सूत्र को [latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex] के रूप में व्यक्त किया जाता है।

ऐतिहासिक अध्ययन संदर्भ में ज्यामितीय आकृतियों के साथ कैवलिएरी सिद्धांत का गणितीय व्युत्क्रमण।.

कैवलियरी का सिद्धांत

अविभाज्य विधि के नाम से भी जाना जाने वाला यह सिद्धांत कहता है कि यदि दो समांतर तलों के बीच स्थित दो ठोसों में यह गुण हो कि उन दोनों तलों के समांतर प्रत्येक तल उन्हें समान क्षेत्रफल वाले अनुप्रस्थ काटों से काटता है, तो दोनों ठोसों का आयतन बराबर होता है। यह कैलकुलस के बिना जटिल आकृतियों के आयतन की गणना करने की एक शक्तिशाली विधि प्रदान करता है।

यूक्लिडियन दूरी

पाइथागोरस प्रमेय कार्तीय निर्देशांकों में दूरी सूत्र का आधार प्रदान करता है। एक समतल में दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी d को √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² द्वारा दर्शाया जाता है। यह सूत्र समकोण त्रिभुज पर प्रमेय का सीधा अनुप्रयोग है, जिसकी भुजाएँ x और y निर्देशांकों का अंतर होती हैं।

कोनिग्सबर्ग पुल समस्या का मानचित्र जो यूलर के ग्राफ सिद्धांत की नींव को दर्शाता है।.

कोनिग्सबर्ग के सात पुल

यह गणित में ऐतिहासिक रूप से उल्लेखनीय समस्या है। लियोनहार्ड यूलर द्वारा 1736 में इसका नकारात्मक समाधान ग्राफ सिद्धांत की नींव रखने और टोपोलॉजी के विचार का पूर्वाभास देने वाला साबित हुआ। इस समस्या में पूछा गया था कि क्या कोनिग्सबर्ग शहर के सातों पुलों को बिना वापस लौटे एक ही यात्रा में पार किया जा सकता है, और यात्रा उसी भूभाग पर समाप्त हो जहाँ से शुरू हुई थी।

(यदि तिथि अज्ञात है या प्रासंगिक नहीं है, उदाहरण के लिए "द्रव यांत्रिकी", तो इसके उल्लेखनीय उद्भव का एक अनुमानित आंकड़ा प्रदान किया गया है)