El teorema de los números primos

Las leyes de De Morgan son un par de reglas de transformación del álgebra booleana fundamentales para el diseño de circuitos digitales. La primera ley establece que la negación de una conjunción es la disyunción de las negaciones: [latex]\neg(P \land Q) \iff (\neg P) \lor (\neg Q)[/latex]. La segunda afirma que la negación de una disyunción es la conjunción de las negaciones: [latex]\neg(P \lor Q) \iff (\neg P) \land (\neg Q)[/latex].

Un colector diferenciable es un espacio topológico que es localmente similar al espacio euclidiano, lo que permite aplicar el cálculo. Cada punto tiene una vecindad que es homeomorfa a un subconjunto abierto de [latex]\mathbb{R}^n[/latex]. Estos sistemas de coordenadas locales, denominados gráficos, se relacionan mediante funciones de transición suaves, formando un atlas que define la estructura diferenciable del colector.

La electrónica digital se basa en el álgebra de Boole, un sistema matemático de lógica introducido por George Boole. Utiliza dos valores, normalmente 0 y 1 (o falso y verdadero), y tres operaciones básicas: AND (conjunción), OR (disyunción) y NOT (negación). Estas operaciones corresponden directamente a las puertas lógicas que forman los bloques de construcción de todos los circuitos digitales.

Un espacio topológico es un par ordenado [latex](X, \tau)[/latex], donde [latex]X[/latex] es un conjunto y [latex]\tau[/latex] es una colección de subconjuntos de [latex]X[/latex], llamados conjuntos abiertos, que satisfacen tres axiomas: 1) El conjunto vacío [latex]\emptyset[/latex] y el propio [latex]X[/latex] están en [latex]\tau[/latex]. 2) La unión de cualquier número de conjuntos en [latex]\tau[/latex] está también en [latex]\tau[/latex]. 3) La intersección de cualquier número finito de conjuntos en [latex]\tau[/latex] está también en [latex]\tau[/latex].

El Método de Elementos Finitos (MEF) es una potente técnica numérica para resolver problemas complejos de ingeniería y física descritos mediante ecuaciones diferenciales parciales. Funciona discretizando un dominio continuo en un conjunto de subdominios más pequeños y simples llamados «elementos finitos». Esto permite la solución numérica aproximada de problemas de análisis estructural, transferencia de calor, flujo de fluidos y electromagnetismo.

La interpolación es el proceso computacional dentro de un controlador CNC que genera una secuencia de puntos de coordenadas intermedios para crear una trayectoria uniforme entre los puntos finales programados. Los tipos más fundamentales son la interpolación lineal (G01) para líneas rectas y la interpolación circular (G02/G03) para arcos. Esto permite mecanizar perfiles complejos a partir de comandos geométricos simples en el programa de código G.

El teorema de Gauss-Bonnet relaciona la geometría de una superficie bidimensional compacta con su topología. Afirma que la integral de la curvatura gaussiana [latex]K[/latex] sobre toda la superficie [latex]M[/latex] es igual a [latex]2\pi[/latex] veces la característica de Euler [latex]\chi(M)[/latex] de la superficie. La fórmula es [latex]\int_M K \, dA = 2\pi \chi(M)[/latex].

La exactitud se refiere a la proximidad de un valor medido a un patrón o a un valor real conocido. La precisión se refiere a la proximidad de dos o más mediciones entre sí. Un sistema de medición puede ser preciso pero no exacto, exacto pero no preciso, ninguno de los dos o ambos. Estos dos conceptos son independientes en la teoría de la medición.

La geometría riemanniana es la rama de la geometría diferencial que estudia las variedades riemannianas: variedades suaves dotadas de una métrica riemanniana. Esta métrica es un conjunto de productos internos en los espacios tangentes, que varían suavemente de un punto a otro. Permite definir nociones geométricas locales como ángulo, longitud de curvas, área superficial y volumen, lo que da lugar a una noción generalizada de curvatura.

Un homeomorfismo es una función continua entre dos espacios topológicos que tiene una función inversa continua. Dos espacios topológicos se llaman homeomorfos si existe tal función. Desde un punto de vista topológico, los espacios homeomórficos son idénticos. Este concepto recoge la idea de que un objeto puede estirarse, doblarse o deformarse en otro sin que se rompa o pegue, como una taza de café en un donut.

Este teorema establece que para cualquier función continua [latex]f[/latex] que mapea un conjunto convexo compacto a sí mismo, existe un punto [latex]x_0[/latex] tal que [latex]f(x_0) = x_0[/latex]. Este punto se denomina punto fijo. Informalmente, si tomamos un mapa de un país, lo arrugamos y lo colocamos dentro de las fronteras del país, siempre habrá al menos un punto en el mapa directamente encima de su ubicación correspondiente en el mundo real.

La condición de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) es un criterio de estabilidad necesario para las soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas que utilizan esquemas explícitos de integración temporal. Dicta que el tamaño del paso temporal debe ser lo suficientemente pequeño como para que la información no viaje más allá de una celda espacial de la cuadrícula por paso temporal. Para un caso 1D, [latex]C = u \frac{\Delta t}{\Delta x} \le C_{max}[/latex], lo que garantiza la estabilidad numérica.

La función de fiabilidad, R(t), define la probabilidad de que un sistema o componente realice su función requerida sin fallos durante un tiempo determinado "t". Para sistemas con una tasa de fallos constante (λ), se describe mediante la distribución exponencial: [latex]R(t) = e^{-\lambda t}[/latex]. Esta función es fundamental para predecir la longevidad y el rendimiento de un producto.

A classic illustration of the Monte Carlo method is estimating the value of [latex]\pi[/latex]. By inscribing a circle of radius [latex]r[/latex] within a square of side length [latex]2r[/latex], the ratio of their areas is [latex]\frac{\pi r^2}{(2r)^2} = \frac{\pi}{4}[/latex]. Randomly scattering points within the square and counting the fraction [latex]p[/latex] that fall inside the circle provides an estimate: [latex]\pi \approx 4p[/latex].