Postulados de Euclides

A fundamental theorem in Euclidean geometry states that the sum of the measures of the three interior angles of any triangle is always equal to two right angles, or 180 degrees. This property, [latex]\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ[/latex], is a direct consequence of the parallel postulate and holds true for all triangles, regardless of their size or shape, within a flat, Euclidean plane.

The Pythagorean theorem is a fundamental relation in Euclidean geometry among the three sides of a right-angled triangle. It states that the area of the square whose side is the hypotenuse (the side opposite the right angle) is equal to the sum of the areas of the squares on the other two sides. The formula is expressed as [latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex].

El sistema de coordenadas cartesianas proporciona un modelo algebraico para la geometría euclidiana. Utiliza uno o más números, o coordenadas, para determinar de forma única la posición de un punto en el espacio. En un plano, se utilizan dos líneas perpendiculares (el eje x y el eje y), lo que permite describir formas geométricas mediante ecuaciones algebraicas. Esta fusión de álgebra y geometría se conoce como geometría analítica.

Ecuación diferencial parcial hiperbólica lineal de segundo orden que gobierna la propagación de varios tipos de ondas. En su forma más simple, se escribe como [latex]\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u[/latex], donde [latex]u(\vec{x},t)[/latex] es la amplitud de la onda, [latex]c[/latex] es la velocidad de la onda, y [latex]\nabla^2[/latex] es el operador de Laplace. Modela fenómenos como las cuerdas vibrantes, las ondas sonoras y las ondas luminosas.

La característica de Euler es una invariante topológica, un número que describe la estructura o forma de un espacio topológico independientemente de cómo se doble. Para los poliedros, se define mediante la fórmula [latex]\chi = V - E + F[/latex], donde V, E y F son el número de vértices, aristas y caras, respectivamente. Para una esfera, [latex]\chi = 2[/latex], mientras que para un toro, [latex]\chi = 0[/latex].

Ecuación diferencial parcial elíptica lineal de segundo orden que describe sistemas en estado estacionario o de equilibrio. Se escribe como [latex]nabla^2 u = 0[/latex] o [latex]Delta u = 0[/latex], donde [latex]nabla^2[/latex] (o [latex]Delta[/latex]) es el operador de Laplace. Las soluciones, denominadas funciones armónicas, son las funciones más suaves posibles y representan potenciales en campos como la electrostática, la gravitación y el flujo de fluidos.

Ecuación diferencial parcial parabólica lineal fundamental de segundo orden que describe la distribución de calor u otros procesos de difusión. Su forma canónica es [latex]\frac{parcial u}{parcial t} = \alpha \nabla^2 u[/latex], donde [latex]u(\vec{x},t)[/latex] es la temperatura, [latex]t[/latex] es el tiempo, y [latex]\alpha[/latex] es la difusividad térmica. Las soluciones modelan cómo evoluciona una distribución inicial de temperatura, suavizando las irregularidades con el tiempo y aproximándose a un estado estacionario.

Euclid's fifth postulate, the parallel postulate, is the axiom that defines Euclidean geometry: it states that if a line intersects two other lines, and the interior angles on one side sum to less than two right angles ([latex]\alpha + \beta < 180^\circ[/latex]), then the two lines will eventually intersect on that side. This postulate guarantees a unique parallel line through a point not on a given line.

The Platonic solids are the only five convex regular polyhedra: a regular polyhedron has congruent regular polygonal faces and the same number of faces meeting at each vertex. The five solids are the tetrahedron (4 faces), cube (6 faces), octahedron (8 faces), dodecahedron (12 faces), and icosahedron (20 faces). Their symmetry and properties have been studied since antiquity.

También conocido como método de los indivisibles, este principio establece que si dos sólidos situados entre dos planos paralelos tienen la propiedad de que cada plano paralelo a los dos planos dados los interseca en secciones transversales de igual área, entonces los dos sólidos tienen volúmenes iguales. Se trata de un potente método para calcular volúmenes de formas complejas sin necesidad de cálculo.

Se trata de un problema históricamente notable en matemáticas. Su resolución negativa por Leonhard Euler en 1736 sentó las bases de la teoría de grafos y prefiguró la idea de topología. El problema consistía en saber si los siete puentes de la ciudad de Königsberg podían recorrerse en un solo viaje sin volver atrás, y si el viaje terminaba en el mismo terreno en el que había comenzado.

Teorema fundamental de topología y geometría que establece que, para cualquier poliedro convexo, el número de vértices (V), aristas (E) y caras (F) está relacionado por la fórmula [latex]V - E + F = 2[/latex]. Este valor, 2, es la característica de Euler de una esfera, lo que revela una profunda propiedad topológica independiente de la forma específica del poliedro.

One of the earliest problems in geometric probability, it is considered a precursor to the Monte Carlo method. It involves dropping a needle of length [latex]l[/latex] onto a floor with parallel lines a distance [latex]t[/latex] apart. The probability that the needle will cross a line is [latex]P = \frac{2l}{\pi t}[/latex] (for [latex]l \le t[/latex]). This provides a physical experiment to estimate [latex]\pi[/latex].

A standard approach for approximating solutions to overdetermined systems by finding model parameters that minimize the sum of the squared differences between observed and predicted values. This sum is known as the sum of squared residuals (SSR). The goal is to find the parameters [latex]\hat{\beta}[/latex] that minimize the function [latex]S(\beta) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - x_i^T \beta)^2[/latex].