La ecuación del calor

El sistema de coordenadas cartesianas proporciona un modelo algebraico para la geometría euclidiana. Utiliza uno o más números, o coordenadas, para determinar de forma única la posición de un punto en el espacio. En un plano, se utilizan dos líneas perpendiculares (el eje x y el eje y), lo que permite describir formas geométricas mediante ecuaciones algebraicas. Esta fusión de álgebra y geometría se conoce como geometría analítica.

Ecuación diferencial parcial hiperbólica lineal de segundo orden que gobierna la propagación de varios tipos de ondas. En su forma más simple, se escribe como [latex]\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u[/latex], donde [latex]u(\vec{x},t)[/latex] es la amplitud de la onda, [latex]c[/latex] es la velocidad de la onda, y [latex]\nabla^2[/latex] es el operador de Laplace. Modela fenómenos como las cuerdas vibrantes, las ondas sonoras y las ondas luminosas.

La característica de Euler es una invariante topológica, un número que describe la estructura o forma de un espacio topológico independientemente de cómo se doble. Para los poliedros, se define mediante la fórmula [latex]\chi = V - E + F[/latex], donde V, E y F son el número de vértices, aristas y caras, respectivamente. Para una esfera, [latex]\chi = 2[/latex], mientras que para un toro, [latex]\chi = 0[/latex].

Una solución fundamental de un operador diferencial parcial lineal [latex]L[/latex] es una solución de la ecuación [latex]Lu = delta(x)[/latex], donde [latex]delta(x)[/latex] es la función delta de Dirac. Representa la respuesta del sistema a una fuente puntual o impulso. Una vez conocida, la solución de la ecuación no homogénea [latex]Lu = f(x)[/latex] puede hallarse por convolución: [latex]u(x) = (G * f)(x)[/latex], donde [latex]G[/latex] es la solución fundamental.

Las leyes de De Morgan son un par de reglas de transformación del álgebra booleana fundamentales para el diseño de circuitos digitales. La primera ley establece que la negación de una conjunción es la disyunción de las negaciones: [latex]\neg(P \land Q) \iff (\neg P) \lor (\neg Q)[/latex]. La segunda afirma que la negación de una disyunción es la conjunción de las negaciones: [latex]\neg(P \lor Q) \iff (\neg P) \land (\neg Q)[/latex].

Un colector diferenciable es un espacio topológico que es localmente similar al espacio euclidiano, lo que permite aplicar el cálculo. Cada punto tiene una vecindad que es homeomorfa a un subconjunto abierto de [latex]\mathbb{R}^n[/latex]. Estos sistemas de coordenadas locales, denominados gráficos, se relacionan mediante funciones de transición suaves, formando un atlas que define la estructura diferenciable del colector.

También conocido como método de los indivisibles, este principio establece que si dos sólidos situados entre dos planos paralelos tienen la propiedad de que cada plano paralelo a los dos planos dados los interseca en secciones transversales de igual área, entonces los dos sólidos tienen volúmenes iguales. Se trata de un potente método para calcular volúmenes de formas complejas sin necesidad de cálculo.

Se trata de un problema históricamente notable en matemáticas. Su resolución negativa por Leonhard Euler en 1736 sentó las bases de la teoría de grafos y prefiguró la idea de topología. El problema consistía en saber si los siete puentes de la ciudad de Königsberg podían recorrerse en un solo viaje sin volver atrás, y si el viaje terminaba en el mismo terreno en el que había comenzado.

Teorema fundamental de topología y geometría que establece que, para cualquier poliedro convexo, el número de vértices (V), aristas (E) y caras (F) está relacionado por la fórmula [latex]V - E + F = 2[/latex]. Este valor, 2, es la característica de Euler de una esfera, lo que revela una profunda propiedad topológica independiente de la forma específica del poliedro.

Ecuación diferencial parcial elíptica lineal de segundo orden que describe sistemas en estado estacionario o de equilibrio. Se escribe como [latex]nabla^2 u = 0[/latex] o [latex]Delta u = 0[/latex], donde [latex]nabla^2[/latex] (o [latex]Delta[/latex]) es el operador de Laplace. Las soluciones, denominadas funciones armónicas, son las funciones más suaves posibles y representan potenciales en campos como la electrostática, la gravitación y el flujo de fluidos.

El Teorema Egregium (teorema notable en latín) afirma que la curvatura gaussiana de una superficie es una propiedad intrínseca. Esto significa que sólo depende de cómo se midan las distancias en la propia superficie, no de cómo se inserte la superficie en el espacio tridimensional. Una hoja de papel plana puede enrollarse hasta formar un cilindro, pero no una esfera sin estirarse.

El teorema de Gauss-Bonnet relaciona la geometría de una superficie bidimensional compacta con su topología. Afirma que la integral de la curvatura gaussiana [latex]K[/latex] sobre toda la superficie [latex]M[/latex] es igual a [latex]2\pi[/latex] veces la característica de Euler [latex]\chi(M)[/latex] de la superficie. La fórmula es [latex]\int_M K \, dA = 2\pi \chi(M)[/latex].

La exactitud se refiere a la proximidad de un valor medido a un patrón o a un valor real conocido. La precisión se refiere a la proximidad de dos o más mediciones entre sí. Un sistema de medición puede ser preciso pero no exacto, exacto pero no preciso, ninguno de los dos o ambos. Estos dos conceptos son independientes en la teoría de la medición.

La geometría riemanniana es la rama de la geometría diferencial que estudia las variedades riemannianas: variedades suaves dotadas de una métrica riemanniana. Esta métrica es un conjunto de productos internos en los espacios tangentes, que varían suavemente de un punto a otro. Permite definir nociones geométricas locales como ángulo, longitud de curvas, área superficial y volumen, lo que da lugar a una noción generalizada de curvatura.