Los cinco sólidos platónicos

El quinto postulado de Euclides, el postulado de las paralelas, es el axioma que define la geometría euclidiana: afirma que si una recta corta a otras dos rectas y los ángulos interiores de un lado suman menos de dos ángulos rectos ([latex]\alpha + \beta < 180^\circ[/latex]), las dos rectas acabarán cortándose en ese lado. Este postulado garantiza una única recta paralela que pasa por un punto que no está en una recta dada.

Una terna pitagórica consta de tres enteros positivos a, b y c, tales que [latex]a² + b² = c²[/latex]. Un ejemplo conocido es (3, 4, 5). La fórmula de Euclides es un método fundamental para generar estas ternas. Dados dos enteros positivos cualesquiera m y n con [latex]m > n[/latex], la fórmula [latex]a = m² - n²[/latex], [latex]b = 2mn[/latex], [latex]c = m² + n²[/latex] genera una terna pitagórica.

La raíz cuadrada de 2 es un número irracional, lo que significa que no se puede expresar como una relación entre dos números enteros [latex]p/q[/latex]. La prueba clásica, a menudo atribuida a los pitagóricos, es una prueba por contradicción: se supone que [latex]\sqrt{2} = p/q[/latex] en términos mínimos, lo que lleva a la conclusión de que tanto [latex]p[/latex] como [latex]q[/latex] deben ser pares, lo que contradice la suposición inicial.

El teorema de Ptolomeo proporciona una elegante demostración geométrica de las fórmulas de suma y diferencia en trigonometría. Al inscribir un cuadrilátero en un círculo con un lado como diámetro, las longitudes de los lados pueden expresarse como senos y cosenos de los ángulos inscritos. La aplicación del teorema [latex]AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot DA[/latex] da lugar directamente a identidades como [latex]sin(alfa + beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta[/latex].

El sistema de coordenadas cartesianas proporciona un modelo algebraico para la geometría euclidiana. Utiliza uno o más números, o coordenadas, para determinar de forma única la posición de un punto en el espacio. En un plano, se utilizan dos líneas perpendiculares (el eje x y el eje y), lo que permite describir formas geométricas mediante ecuaciones algebraicas. Esta fusión de álgebra y geometría se conoce como geometría analítica.

La inducción matemática es una técnica utilizada para demostrar que una propiedad [latex]P(n)[/latex] se cumple para cada número natural [latex]n[/latex]. Implica dos pasos: el caso base, que demuestra que [latex]P(0)[/latex] o [latex]P(1)[/latex] es verdadero, y el paso inductivo, que demuestra que si [latex]P(k)[/latex] es verdadero para algún número natural [latex]k[/latex] (la hipótesis de inducción), entonces [latex]P(k+1)[/latex] también es verdadero.

Los cinco postulados de Euclides constituyen la base axiomática de la geometría euclidiana, tal como se describe en su tratado «Elementos». Son supuestos fundamentales de los que se derivan lógicamente todos los demás teoremas. Los cuatro primeros se refieren a la construcción de líneas y círculos, mientras que el quinto, el postulado de las paralelas, define de forma única la naturaleza plana y no curva del espacio euclidiano. Estos axiomas establecieron el método deductivo en matemáticas.

Un teorema fundamental de la geometría euclidiana establece que la suma de las medidas de los tres ángulos interiores de cualquier triángulo siempre es igual a dos ángulos rectos, o 180 grados. Esta propiedad, [latex]alpha + beta + gamma = 180^circ[/latex], es una consecuencia directa del postulado de las paralelas y se cumple para todos los triángulos, independientemente de su tamaño o forma, dentro de un plano euclidiano.

La demostración directa es un método para demostrar la veracidad de una afirmación dada mediante una combinación sencilla de hechos establecidos, generalmente axiomas, definiciones y teoremas previamente probados. Para probar una afirmación condicional [latex]p rightarrow q[/latex], se asume que [latex]p[/latex] es verdadera y se utilizan reglas de inferencia para demostrar que [latex]q[/latex] también debe ser verdadera.

La prueba por contradicción, o reductio ad absurdum, es una forma de prueba indirecta. Establece la veracidad de una proposición demostrando que asumir que la proposición es falsa conduce a una contradicción lógica. Para demostrar una proposición [latex]p[/latex], se asume su negación, [latex]\neg p[/latex], y se deduce una contradicción, como [latex]q \land \neg q[/latex], concluyendo así que [latex]p[/latex] debe ser verdadera.

El teorema de Pitágoras es una relación fundamental de la geometría euclidiana entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Establece que el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de los otros dos lados. La fórmula se expresa como [latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex].

También conocido como método de los indivisibles, este principio establece que si dos sólidos situados entre dos planos paralelos tienen la propiedad de que cada plano paralelo a los dos planos dados los interseca en secciones transversales de igual área, entonces los dos sólidos tienen volúmenes iguales. Se trata de un potente método para calcular volúmenes de formas complejas sin necesidad de cálculo.

El teorema de Pitágoras proporciona la base para la fórmula de la distancia en coordenadas cartesianas. La distancia [latex]d[/latex] entre dos puntos [latex](x_1, y_1)[/latex] y [latex](x_2, y_2)[/latex] en un plano viene dada por [latex]d = sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}[/latex]. Esta fórmula es una aplicación directa del teorema a un triángulo rectángulo cuyos catetos son las diferencias en las coordenadas x e y.

Se trata de un problema históricamente notable en matemáticas. Su resolución negativa por Leonhard Euler en 1736 sentó las bases de la teoría de grafos y prefiguró la idea de topología. El problema consistía en saber si los siete puentes de la ciudad de Königsberg podían recorrerse en un solo viaje sin volver atrás, y si el viaje terminaba en el mismo terreno en el que había comenzado.