الفرضية المتوازية (فرضية إقليدس الخامسة)

يتكون الثلاثي البيتاغوري من ثلاثة أعداد صحيحة موجبة a و b و c، بحيث [latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex]. ومن الأمثلة المعروفة (3، 4، 5). وتعد صيغة إقليدس طريقة أساسية لتوليد هذه الثلاثيات. بالنظر إلى أي عددين صحيحين موجبين m و n مع [latex]m > n[/latex]، فإن الصيغة [latex]a = m^2 - n^2[/latex]، [latex]b = 2mn[/latex]، [latex]c = m^2 + n^2[/latex] تولد ثلاثية فيثاغورس.

المجسَّمات الأفلاطونية هي المجسَّمات الخمسة الوحيدة المحدَّبة المنتظمة: متعدِّدات الأوجه المنتظمة لها أوجه منتظمة متطابقة ومتعددة الأضلاع، وتلتقي نفس عدد الأوجه عند كل رأس. المجسّمات الخمسة هي رباعي الأوجه (4 أوجه)، والمكعب (6 أوجه)، وثماني الأوجه (8 أوجه)، وثنائي الأوجه (12 وجهًا)، ومجسّم الإيكوساهدرون (20 وجهًا). وقد تمت دراسة تناظرها وخصائصها منذ العصور القديمة.

الجذر التربيعي لـ 2 هو عدد غير نسبي، مما يعني أنه لا يمكن التعبير عنه كنسبة بين عددين صحيحين [latex]p/q[/latex]. والبرهان الكلاسيكي، الذي يُنسب غالبًا إلى أتباع فيثاغورس، هو برهان بالتناقض: فهو يفترض أن [latex]\sqrt{2} = p/q[/latex] في أبسط صورة، مما يؤدي إلى استنتاج أن كلا من [latex]p[/latex] و [latex]q[/latex] يجب أن يكونا زوجيين، مما يتناقض مع الافتراض الأولي.

يقدم نظرية بطليموس دليلاً هندسياً أنيقاً لصيغ الجمع والطرح في علم المثلثات. من خلال رسم شكل رباعي في دائرة بحيث يكون أحد أضلاعه هو القطر، يمكن التعبير عن أطوال الأضلاع بواسطة جيب وجيب تمام الزوايا المرسومة. بتطبيق النظرية [latex]AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot DA[/latex] مباشرة، نحصل على متطابقات مثل [latex]sin(alpha + beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta[/latex].

يوفر نظام الإحداثيات الديكارتية نموذجًا جبريًا للهندسة الإقليدية. ويستخدم عددًا واحدًا أو أكثر، أو إحداثيات، لتحديد موقع نقطة في الفضاء تحديدًا فريدًا. في المستوى، يُستخدم خطان متعامدان (المحوران السيني والصادي)، مما يسمح بوصف الأشكال الهندسية باستخدام معادلات جبرية. يُعرف هذا الدمج بين الجبر والهندسة بالهندسة التحليلية.

الاستقراء الرياضي هو تقنية تستخدم لإثبات أن الخاصية [latex]P(n)[/latex] تنطبق على كل عدد طبيعي [latex]n[/latex]. وهي تتضمن خطوتين: الحالة الأساسية، التي تثبت صحة [latex]P(0)[/latex] أو [latex]P(1)[/latex]، والخطوة الاستقرائية، التي تثبت أنه إذا كان [latex]P(k)[/latex] صحيحًا لبعض الأعداد الطبيعية [latex]k[/latex] (فرضية الاستقراء)، فإن [latex]P(k+1)[/latex] يكون صحيحًا أيضًا.

تُشكل مسلمات إقليدس الخمس الأساس البديهي للهندسة الإقليدية، كما هو موضح في أطروحته "العناصر". وهي افتراضات أساسية تُشتق منها جميع النظريات الأخرى منطقيًا. تتعلق المسلمات الأربع الأولى ببناء الخطوط والدوائر، بينما تُحدد المسلمة الخامسة، وهي مسلمة التوازي، الطبيعة المسطحة غير المنحنية للفضاء الإقليدي. وقد أسست هذه المسلمات المنهج الاستنتاجي في الرياضيات.

تنص إحدى النظريات الأساسية في الهندسة الإقليدية على أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية الثلاث لأي مثلث يساوي دائمًا زاويتين قائمتين أو 180 درجة. هذه الخاصية، [latex]\ألفا + \ بيتا + \ جاما = 180^^ \circ[/latex]، هي نتيجة مباشرة لفرضية التوازي وتنطبق على جميع المثلثات، بغض النظر عن حجمها أو شكلها، في مستوى إقليدي مسطح.

الدليل المباشر هو طريقة لإثبات صحة عبارة معينة من خلال الجمع المباشر بين الحقائق الثابتة، وعادة ما تكون بديهيات وتعريفات ونظريات تم إثباتها مسبقًا. لإثبات صحة العبارة الشرطية [latex]p \rightarrow q[/latex]، يفترض المرء أن [latex]p[/latex] صحيحة ويستخدم قواعد الاستدلال لإثبات أن [latex]q[/latex] يجب أن تكون صحيحة أيضًا.

الإثبات بالتناقض، أو الاستدلال بالعبثية، هو شكل من أشكال الإثبات غير المباشر. وهو يثبت صحة فرضية ما من خلال إظهار أن افتراض عدم صحة الفرضية يؤدي إلى تناقض منطقي. لإثبات صحة القضية [latex]p[/latex]، يفترض المرء نفيها، [latex]\neg p[/latex]، ويستنتج تناقضًا، مثل [latex]q \land \neg q[/latex]، وبالتالي يستنتج أن [latex]p[/latex] يجب أن تكون صحيحة.

نظرية فيثاغورس هي علاقة أساسية في الهندسة الإقليدية بين الأضلاع الثلاثة للمثلث القائم الزاوية. وتنص على أن مساحة المربع الذي يكون ضلعه هو الوتر (الضلع المقابل للزاوية القائمة) تساوي مجموع مساحتي المربعين في الضلعين الآخرين. تُعبَّر الصيغة على الصورة [latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex].

ينص هذا المبدأ، الذي يُعرَف أيضًا باسم طريقة عدم التجزئة، على أنه إذا كان هناك مجسّمان يقعان بين مستويين متوازيين لهما خاصية أن كل مستوى موازٍ للمستويين المعطيين يتقاطعان معًا في مقاطع عرضية متساوية المساحة، فإن المجسمين يكونان متساويين في الحجم. وهي توفر طريقة فعالة لحساب حجوم الأشكال المعقدة دون حساب التفاضل والتكامل.

توفر نظرية فيثاغورس الأساس لصيغة المسافة في الإحداثيات الكارتيزية. المسافة [latex]d[/latex] بين نقطتين [latex](x_1, y_1)[/latex] و [latex](x_2, y_2)[/latex] في مستوى ما تُعطى بالصيغة [latex]d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}[/latex]. هذه الصيغة هي تطبيق مباشر للنظرية على مثلث قائم الزاوية يكون ضلعاه هما الفرقان في إحداثيات x و y.

هذه مشكلة بارزة تاريخياً في الرياضيات. فقد أرسى حلها السلبي من قبل ليونارد أويلر في عام 1736 أسس نظرية الرسم البياني ومهد لفكرة الطوبولوجيا. تساءلت المشكلة عما إذا كان من الممكن اجتياز جسور مدينة كونيغسبرغ السبعة في رحلة واحدة دون العودة إلى الوراء، على أن تنتهي الرحلة على نفس اليابسة التي بدأت بها.