الهندسة الريمانية

تنص نظرية إيجيريوم (وتعني باللاتينية "النظرية الرائعة") على أن الانحناء الغاوسي للسطح خاصية جوهرية. وهذا يعني أنه يعتمد فقط على كيفية قياس المسافات على السطح نفسه، وليس على كيفية تضمين السطح في الفضاء الثلاثي الأبعاد. يمكن لف ورقة مسطحة على شكل أسطوانة ولكن ليس على شكل كرة دون أن تتمدد.

تربط نظرية غاوس-بونيه بين هندسة سطح مضغوط ثنائي الأبعاد وطوبولوجيته. وهي تنص على أن تكامل تكامل انحناء غاوس [latex]K[/latex] على السطح بأكمله [latex]M[/latex] يساوي [latex]2\pi[/latex] مضروبًا في خاصية أويلر [latex]\chi(M)[/latex] للسطح. والمعادلة هي [latex]\Tint_M K \، dA = 2\pi \chi(M)[/latex].

تشير الدقة إلى قرب القيمة المقيسة من قيمة قياسية أو قيمة حقيقية معروفة. تشير الدقة إلى مدى تقارب قياسين أو أكثر من القياسات مع بعضها البعض. يمكن أن يكون نظام القياس دقيقًا ولكن ليس دقيقًا، أو دقيقًا ولكن ليس دقيقًا، أو لا هذا ولا ذاك، أو كلاهما معًا. هذان المفهومان مستقلان عن بعضهما البعض في نظرية القياس.

التشابه هو دالة متصلة بين فضاءين طوبولوجيين لها دالة عكسية متصلة. يسمى الفضاءان الطوبولوجيان متماثلين إذا كانت هذه الدالة موجودة. من وجهة نظر طوبولوجية، تكون الفضاءات المتماثلة متطابقة. يجسد هذا المفهوم فكرة أن الجسم يمكن أن يتمدد أو ينحني أو يتشوه إلى جسم آخر دون تمزيق أو لصق، مثل كوب قهوة في كعكة دونات.

الفضاء الطوبولوجي هو زوج مرتب [latex](X، \tau)[/latex]، حيث [latex]X[/latex] مجموعة و[latex]\tau[/latex] مجموعة من المجموعات الجزئية لـ [latex]X[/latex]، تسمى مجموعات مفتوحة، تحقق ثلاث بديهيات: 1) المجموعة الفارغة [latex]\emptyset[/latex] و[latex]X[/latex] نفسها في [latex]\tau[/latex]. 2) إن اتحاد أي عدد من المجموعات في [latex]\Tau[/latex] يقع أيضًا في [latex]\Tau[/latex]. 3) تقاطع أي عدد منتهٍ من المجموعات في [latex]\tau1Tau[/latex] يقع أيضًا في [latex]\tau[/latex].

طريقة العناصر المحدودة (FEM) هي تقنية عددية فعّالة لحل المسائل الهندسية والفيزيائية المعقدة الموصوفة بمعادلات تفاضلية جزئية. تعمل هذه الطريقة بتقسيم مجال متصل إلى مجموعة من المجالات الفرعية الأصغر والأبسط، تُسمى "العناصر المحدودة". يتيح هذا الحل العددي التقريبي لمسائل في التحليل الهيكلي، وانتقال الحرارة، وتدفق الموائع، والكهرومغناطيسية.

معادلة تفاضلية جزئية مكافئة خطية أساسية من الدرجة الثانية تصف توزيع الحرارة أو عمليات الانتشار الأخرى. شكلها المتعارف عليه هو [latex] \frac{partial u}{partial t} = \alpha \nabla ^2 u[/latex]، حيث [latex]u(\vec{x},t)[/latex] هي درجة الحرارة، و[latex]TT[/latex] هي الزمن، و[latex]\alpha[/latex] هي الانتشار الحراري. تمثل الحلول نموذجًا لكيفية تطور التوزيع الابتدائي لدرجة الحرارة، مما يخفف من عدم الانتظام بمرور الوقت ويقترب من حالة مستقرة.

الحل الأساسي للمشغل التفاضلي الجزئي الخطي [latex]L[/latex] هو حل للمعادلة [latex]Lu = دلتا(س)[/latex]، حيث [latex]Delta(س)[/latex] هي دالة دلتا ديراك. وهي تمثّل استجابة النظام لمصدر نقطي أو دافع. بمجرد معرفتها، يمكن إيجاد حل المعادلة غير المتجانسة [latex]Lu = f(x)[/latex] عن طريق الالتفاف: [latex]Tu(x) = (G * f)(x) [/latex]، حيث [latex]G[/latex] هو الحل الأساسي.

قوانين دي مورغان هي زوج من قواعد التحويل في الجبر المنطقي التي تُعد أساسية لتصميم الدوائر الرقمية. وينص القانون الأول على أن نفي الاقتران هو نفي النفي: [latex]/نفي (P \land Q) \iff (\nالسالب P) \Lor (\السالب Q)[/latex]. والثاني ينص على أن نفي النفي هو اقتران النفيين: [latex] \Neg(P \LOR Q) \iff (\Neg P) \LAND (\Neg Q)[/latex].

المتشعّب القابل للاشتقاق هو فضاء طوبولوجي مشابه محليًّا للفضاء الإقليديان، مما يسمح بتطبيق التفاضل والتكامل. كل نقطة لها جوار متجانس مع مجموعة فرعية مفتوحة من [latex]\mathbbb{R}^n[/latex]. وترتبط أنظمة الإحداثيات المحلية هذه، التي تُسمَّى المخططات بدوال انتقالية سلسة، لتُشكِّل أطلسًا يُحدِّد البنية القابلة للاشتقاق للمتشعب.

تعتمد الإلكترونيات الرقمية على الجبر المنطقي، وهو نظام رياضي للمنطق قدمه جورج بول. وهو يستخدم قيمتين، عادةً 0 و1 (أو خطأ وصواب)، وثلاث عمليات أساسية: AND (اقتران)، OR (فك الارتباط)، OR (فك الارتباط)، و NOT (النفي). تتوافق هذه العمليات مباشرة مع البوابات المنطقية التي تشكل اللبنات الأساسية لجميع الدوائر الرقمية.

تنص هذه النظرية على أنه بالنسبة لأي دالة متصلة [latex]f[/latex] ترسم مجموعة محدبة مضغوطة لنفسها، هناك نقطة [latex]x_0[/latex] بحيث تكون [latex]f(x_0) = x_0[/latex]. تُسمّى هذه النقطة نقطة ثابتة. بشكل غير رسمي، إذا أخذت خريطة لبلد ما، وقمت بتجعيدها ووضعها داخل حدود البلد، فستكون هناك دائماً نقطة واحدة على الأقل على الخريطة فوق موقعها المناظر في العالم الحقيقي مباشرةً.

إن شرط كورانت-فريدريكس-ليوي (CFL) هو معيار استقرار ضروري للحلول العددية للمعادلات التفاضلية الجزئية الزائدية باستخدام مخططات التكامل الزمني الصريحة. وينص هذا الشرط على أن حجم الخطوة الزمنية يجب أن يكون صغيرًا بما يكفي بحيث لا تنتقل المعلومات أكثر من خلية شبكة مكانية واحدة لكل خطوة زمنية. بالنسبة لحالة 1D، [latex]C = u \frac{\Delta t}{\Delta x} \le C_{max}[/latex]، مما يضمن الاستقرار العددي.

تحدّد دالة الموثوقية، R(t)، احتمال أن يؤدي النظام أو المكوّن وظيفته المطلوبة دون فشل لفترة زمنية محددة "t". بالنسبة للأنظمة ذات معدل الفشل الثابت (λ)، يتم وصفها بالتوزيع الأسي: [latex]R(t) = e^^{- \\lambda t}[/latex]. هذه الدالة أساسية للتنبؤ بطول عمر المنتج وأدائه.