O Canhão Galileano – Multiplicação de Velocidade em Colisões de Bolas Empilhadas
O canhão galileano demonstra a multiplicação de velocidade através de colisões elásticas unidimensionais sequenciais. Quando uma pilha de bolas com massa decrescente é solta, a bola de baixo ricocheteia e colide com a de cima. Num caso idealizado em que uma grande massa [latex]m_1[/latex] ricocheteia com velocidade [latex]v[/latex] e atinge uma massa muito menor [latex]m_2[/latex] que se move para baixo com velocidade [latex]v[/latex], a massa menor é propelida para cima com velocidade próxima a [latex]3v[/latex].
The core principle of the Galilean cannon relies on the conservation of linear momentum and kinetic energy in perfectly elastic collisions. Consider two balls, a large one of mass [latex]m_1[/latex] and a small one of mass [latex]m_2[/latex]. The entire stack falls under gravity, reaching a velocity [latex]-v[/latex] just before impact. The bottom ball, [latex]m_1[/latex], strikes the ground and perfectly rebounds with velocity [latex]+v[/latex]. It immediately collides with ball [latex]m_2[/latex], which is still moving downwards at [latex]-v[/latex].
Do ponto de vista de um observador na bola [latex]m_1[/latex], a bola [latex]m_2[/latex] está se aproximando com uma velocidade relativa de [latex](-v) – (+v) = -2v[/latex]. Em uma colisão perfeitamente elástica, a velocidade relativa de separação é igual ao negativo da velocidade relativa de aproximação. Portanto, após a colisão, a bola [latex]m_2[/latex] estará se afastando de [latex]m_1[/latex] com uma velocidade relativa de [latex]+2v[/latex].
Para encontrar a velocidade final de [latex]m_2[/latex] no referencial do laboratório, [latex]v_2′[/latex], somamos essa velocidade de separação relativa à velocidade final de [latex]m_1[/latex], [latex]v_1′[/latex]. A fórmula para as velocidades finais em uma colisão elástica unidimensional fornece [latex]v_2′ = frac{v(3m_1 – m_2)}{m_1 + m_2}[/latex]. No caso limite em que [latex]m_1 >>>> m_2[/latex], a massa de [latex]m_1[/latex] é tão grande que sua velocidade é pouco afetada pela colisão, então [latex]v_1′ approx v[/latex]. A velocidade final de [latex]m_2[/latex] é então [latex]v_2′ approx v_1′ + 2v approx v + 2v = 3v[/latex]. Essa triplicação da velocidade da segunda bola é o efeito de amplificação fundamental. Se mais bolas forem empilhadas, esse efeito se intensifica, levando a velocidades ainda maiores para a bola do topo.
O Astroblaster® Era um brinquedo comercial que demonstrava o princípio do canhão de Galileu: consistia em quatro bolas de tamanho e massa decrescentes, unidas por um eixo central, o que garantia que as colisões fossem unidimensionais. Ao ser solta, a pequena bola do topo ricocheteava a uma altura muitas vezes maior que a altura original da queda, ilustrando vividamente a transferência e a concentração de energia cinética.
UNESCO Nomenclature: 2210
Mecânica
Precursores
- O trabalho de Galileu sobre corpos em queda
- Obra de Christiaan Huygens sobre colisões (c. 1650)
- Leis do movimento de Isaac Newton
- Conservation of momentum principle
- Princípio da conservação da energia cinética em colisões elásticas
Aplicações
- demonstrações de ensino de física
- models for type ii supernova explosions
- conceptual high-velocity projectile launchers
Ideias de Inovação Potencial
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