أرقام p-adic

تنص هذه النظرية على أن كل عدد صحيح أكبر من ١ هو إما عدد أوّلي أو يمكن تمثيله بشكل فريد كحاصل ضرب أعداد أولية، بغض النظر عن ترتيب العوامل. على سبيل المثال، [latex]1200 = 2^4 \times 3^1 \times 5^2[/latex]. هذا التحليل الفريد هو حجر الزاوية في نظرية الأعداد، حيث يوفر بنية ضرب أساسية للأعداد الصحيحة.

التمثيل القياسي، أو الصيغة القياسية، لعدد صحيح موجب [latex]n[/latex] هو تحليله الفريد إلى عوامل أولية مكتوب كناتج ضرب قوى الأعداد الأولية مرتبة تصاعديًا. لأي عدد صحيح [latex]n > 1[/latex]، يمكن كتابته على الصورة [latex]n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}[/latex]، حيث [latex]p_1 < p_2 < \cdots < p_k[/latex] هي أعداد أولية والأسس [latex]a_i[/latex] هي أعداد صحيحة موجبة.

نظرية الوجود والتفرد الأساسية لمعادلات التفاضل الجزئي المرتبطة بمسائل القيم الابتدائية لكوشي. تنص هذه النظرية على أنه إذا كانت المعادلات التفاضلية الجزئية والشروط الابتدائية "تحليلية" (يمكن تمثيلها بمتسلسلات قوى متقاربة)، فإن حلاً تحليلياً فريداً موجوداً في جوار السطح الابتدائي. توفر هذه النظرية ضماناً للوجود المحلي، لكنها لا تتناول السلوك العام أو حسن الوضعية.

تُعدّ مجموعة كومولوجيا الرقائق أداة مركزية في الهندسة الجبرية الحديثة لدراسة الخصائص العامة للفضاءات الهندسية. بالنسبة إلى الحزمة [latex]\mathcal{F}[/latex] على فضاء [latex]X[/latex]، فإن مجموعات الكهومولوجيا [latex]H^i(X، \mathcal{F})[/latex] هي مساحات متجهة توفر أبعادها متغيرات مهمة. تمثّل المجموعة [latex]H^0[/latex] أقسامًا عالمية، بينما تقيس المجموعات الأعلى [latex]H^i[/latex] لـ [latex]i > 0[/latex] العوائق التي تحول دون تجميع الأقسام المحلية في قسم عالمي.

نتيجة مباشرة للنظرية الأساسية في الجبر هي أن أي دالة كثيرة الحدود غير ثابتة ذات معاملات حقيقية يمكن تحليلها إلى حاصل ضرب عوامل خطية وعوامل تربيعية غير قابلة للتحليل، وجميعها ذات معاملات حقيقية. العوامل الخطية تتوافق مع الجذور الحقيقية، بينما العوامل التربيعية غير القابلة للتحليل تتوافق مع أزواج الجذور المركبة المرافقة [latex]a \pm bi[/latex].

العدد التجاوزي هو عدد حقيقي أو مركب غير جبري، بمعنى أنه ليس جذراً لأي معادلة كثيرات الحدود غير صفرية ذات معاملات صحيحة (أو نسبية). جميع الأعداد التجاوزيّة هي أعداد غير منطقية، ولكن ليست كل الأعداد غير المنطقية أعدادًا تجاوزيّة (على سبيل المثال، [latex]\sqrt{2}[/latex] هو عدد غير منطقي ولكنه جبري، لأنه جذر [latex]x^2 - 2 = 0[/latex]).

على الرغم من كثافتها، أي أنه بين أي عددين نسبيين متميزين يوجد عدد آخر، فإن مجموعة جميع الأعداد النسبية [latex]\mathbb{Q}[/latex] هي مجموعة لا حصر لها. وهذا يعني أن جميع الأعداد النسبية يمكن وضعها في علاقة تناظرية مع الأعداد الطبيعية [latex]\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}[/latex]. يوضح هذا النتيجة المفاجئة أن [latex]\mathbb{Q}[/latex] لها نفس الكثافة مثل [latex]\mathbb{N}[/latex] و [latex]\mathbb{Z}[/latex].

تُنشئ نظرية الأصفار لهيلبرت Nullstellensatz (وتعني بالألمانية "نظرية الأصفار") تطابقًا أساسيًّا بين الهندسة والجبر. تنص هذه النظرية على أنه بالنسبة لحقل مغلق جبريًا [latex]k[/latex]، إذا تلاشت كثيرة الحدود [latex]p[/latex] على المجموعة الصفرية للمثال [latex]IT[/latex]، فلا بد أن تنتمي قوة ما ل [latex]P[/latex] إلى [latex]IT[/latex]. من الناحية الشكلية، [latex]I (V(I)) = \sqrt{I}[/latex]، جذر [latex]IT[/latex].

الصنف الثابت هو مجموعة من النقاط في فضاء ثابت تكون إحداثياتها هي الأصفار المشتركة لمجموعة منتهية من كثيرات الحدود. بالنسبة إلى مجموعة من كثيرات الحدود [latex]S = \{f_1، \نقاط، f_k\} [/latex] في حلقة كثيرة الحدود [latex]k[x_1، \نقاط، x_n][/latex]، فإن الصنف الجيني المناظر هو [latex]V(S) = \{x \في ك^n | f(x) = 0 \نص \{لجميع} f \في S\}[/latex]. إنه موضوع مركزي للدراسة في الهندسة الجبرية الكلاسيكية.