نظرية كوشي-كواليفسكي

نظرية بيزوت هي عبارة أساسية في نظرية التقاطع. وهي تؤكد أن عدد نقاط التقاطع لمنحنيين جبريين مستويين من الدرجة [latex]m[/latex] و[latex]m[/latex] يساوي بالضبط [latex]m[/latex]، شريطة أن يعمل المرء في مستوى مسقط على حقل مغلق جبريًا، ويحسب النقاط ذات التعدد، ويتضمن نقاطًا عند ما لا نهاية حيث تلتقي خطوط التقارب المتوازية.

الصنف الثابت هو مجموعة من النقاط في فضاء ثابت تكون إحداثياتها هي الأصفار المشتركة لمجموعة منتهية من كثيرات الحدود. بالنسبة إلى مجموعة من كثيرات الحدود [latex]S = \{f_1، \نقاط، f_k\} [/latex] في حلقة كثيرة الحدود [latex]k[x_1، \نقاط، x_n][/latex]، فإن الصنف الجيني المناظر هو [latex]V(S) = \{x \في ك^n | f(x) = 0 \نص \{لجميع} f \في S\}[/latex]. إنه موضوع مركزي للدراسة في الهندسة الجبرية الكلاسيكية.

المعادلة التفاضلية الجزئية هي معادلة تفرض علاقات بين المشتقات الجزئية المختلفة لدالة متعددة المتغيرات. تُسمى الدالة عادةً بالمجهول، وتصف المعادلة التفاضلية الجزئية التفاضلية علاقة بين هذه الدالة المجهولة ومشتقاتها. على عكس المعادلات التفاضلية العادية (ODEs)، التي تتضمن دوال ذات متغير واحد، فإن معادلات PDEs أساسية لنمذجة الأنظمة متعددة الأبعاد.

تقنية لحل المعادلات التفاضلية الجزئية (PDE) من الرتبة الأولى والرتبة الثانية الزائدية. تُختزل هذه الطريقة المعادلات التفاضلية الجزئية إلى مجموعة من المعادلات التفاضلية العادية (ODEs) على طول منحنيات محددة تُسمى "خصائص". على طول هذه المنحنيات، يُبسط المعادلة التفاضلية الجزئية، مما يسمح بإيجاد الحل عن طريق تكامل نظام المعادلات التفاضلية العادية. تُعد هذه الطريقة فعّالة بشكل خاص في مسائل النقل وانتشار الموجات.

تُنشئ نظرية الأصفار لهيلبرت Nullstellensatz (وتعني بالألمانية "نظرية الأصفار") تطابقًا أساسيًّا بين الهندسة والجبر. تنص هذه النظرية على أنه بالنسبة لحقل مغلق جبريًا [latex]k[/latex]، إذا تلاشت كثيرة الحدود [latex]p[/latex] على المجموعة الصفرية للمثال [latex]IT[/latex]، فلا بد أن تنتمي قوة ما ل [latex]P[/latex] إلى [latex]IT[/latex]. من الناحية الشكلية، [latex]I (V(I)) = \sqrt{I}[/latex]، جذر [latex]IT[/latex].

تُعدّ مجموعة كومولوجيا الرقائق أداة مركزية في الهندسة الجبرية الحديثة لدراسة الخصائص العامة للفضاءات الهندسية. بالنسبة إلى الحزمة [latex]\mathcal{F}[/latex] على فضاء [latex]X[/latex]، فإن مجموعات الكهومولوجيا [latex]H^i(X، \mathcal{F})[/latex] هي مساحات متجهة توفر أبعادها متغيرات مهمة. تمثّل المجموعة [latex]H^0[/latex] أقسامًا عالمية، بينما تقيس المجموعات الأعلى [latex]H^i[/latex] لـ [latex]i > 0[/latex] العوائق التي تحول دون تجميع الأقسام المحلية في قسم عالمي.