نظام الإحداثيات الديكارتية

تُشكل مسلمات إقليدس الخمس الأساس البديهي للهندسة الإقليدية، كما هو موضح في أطروحته "العناصر". وهي افتراضات أساسية تُشتق منها جميع النظريات الأخرى منطقيًا. تتعلق المسلمات الأربع الأولى ببناء الخطوط والدوائر، بينما تُحدد المسلمة الخامسة، وهي مسلمة التوازي، الطبيعة المسطحة غير المنحنية للفضاء الإقليدي. وقد أسست هذه المسلمات المنهج الاستنتاجي في الرياضيات.

تنص إحدى النظريات الأساسية في الهندسة الإقليدية على أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية الثلاث لأي مثلث يساوي دائمًا زاويتين قائمتين أو 180 درجة. هذه الخاصية، [latex]\ألفا + \ بيتا + \ جاما = 180^^ \circ[/latex]، هي نتيجة مباشرة لفرضية التوازي وتنطبق على جميع المثلثات، بغض النظر عن حجمها أو شكلها، في مستوى إقليدي مسطح.

نظرية فيثاغورس هي علاقة أساسية في الهندسة الإقليدية بين الأضلاع الثلاثة للمثلث القائم الزاوية. وتنص على أن مساحة المربع الذي يكون ضلعه هو الوتر (الضلع المقابل للزاوية القائمة) تساوي مجموع مساحتي المربعين في الضلعين الآخرين. تُعبَّر الصيغة على الصورة [latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex].

معادلة تفاضلية جزئية خطية زائدية قطعية خطية من الرتبة الثانية تحكم انتشار أنواع مختلفة من الموجات. تُكتَب في أبسط صورها على الصورة [latex]\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2\nabla^2 u[/latex]، حيث [latex]u(\vec{x},t)[/latex] هي سعة الموجة، و[latex]c[/latex] هي سرعة الموجة، و[latex]\nabla^2[/latex] هي مشغل لابلاس. وهي تمثّل ظواهر مثل الأوتار الاهتزازية والموجات الصوتية والموجات الضوئية.

خاصية أويلر هي متغير طوبولوجي، وهو رقم يصف بنية الفضاء الطوبولوجي أو شكله بغض النظر عن كيفية ثنيه. بالنسبة إلى متعددات الوجوه، تُعرَّف بالصيغة [latex]\chi = V - E + F[/latex]، حيث V وE وF هي عدد الرءوس والأحرف والأوجه، على التوالي. بالنسبة إلى الكرة، [latex]\chi = 2[/latex]، بينما بالنسبة إلى الطور، [latex]\chi = 0[/latex].

معادلة تفاضلية جزئية مكافئة خطية أساسية من الدرجة الثانية تصف توزيع الحرارة أو عمليات الانتشار الأخرى. شكلها المتعارف عليه هو [latex] \frac{partial u}{partial t} = \alpha \nabla ^2 u[/latex]، حيث [latex]u(\vec{x},t)[/latex] هي درجة الحرارة، و[latex]TT[/latex] هي الزمن، و[latex]\alpha[/latex] هي الانتشار الحراري. تمثل الحلول نموذجًا لكيفية تطور التوزيع الابتدائي لدرجة الحرارة، مما يخفف من عدم الانتظام بمرور الوقت ويقترب من حالة مستقرة.

الحل الأساسي للمشغل التفاضلي الجزئي الخطي [latex]L[/latex] هو حل للمعادلة [latex]Lu = دلتا(س)[/latex]، حيث [latex]Delta(س)[/latex] هي دالة دلتا ديراك. وهي تمثّل استجابة النظام لمصدر نقطي أو دافع. بمجرد معرفتها، يمكن إيجاد حل المعادلة غير المتجانسة [latex]Lu = f(x)[/latex] عن طريق الالتفاف: [latex]Tu(x) = (G * f)(x) [/latex]، حيث [latex]G[/latex] هو الحل الأساسي.

مسلَّمة إقليدس الخامسة، وهي مسلَّمة التوازي، هي البديهية التي تُعرِّف الهندسة الإقليدية: وهي تنص على أنه إذا تقاطع خط مستقيم مع خطين مستقيمين آخرين، وكان مجموع الزوايا الداخلية على أحد الجانبين أقل من زاويتين قائمتين ([latex]\ألفا + \بيتا < 180^^^ \circ[/latex])، فإن المستقيمين سيتقاطعان في النهاية على هذا الجانب. تضمن هذه الفرضية وجود مستقيم متوازي وحيد يمر بنقطة لا تقع على مستقيم معين.

المجسَّمات الأفلاطونية هي المجسَّمات الخمسة الوحيدة المحدَّبة المنتظمة: متعدِّدات الأوجه المنتظمة لها أوجه منتظمة متطابقة ومتعددة الأضلاع، وتلتقي نفس عدد الأوجه عند كل رأس. المجسّمات الخمسة هي رباعي الأوجه (4 أوجه)، والمكعب (6 أوجه)، وثماني الأوجه (8 أوجه)، وثنائي الأوجه (12 وجهًا)، ومجسّم الإيكوساهدرون (20 وجهًا). وقد تمت دراسة تناظرها وخصائصها منذ العصور القديمة.

ينص هذا المبدأ، الذي يُعرَف أيضًا باسم طريقة عدم التجزئة، على أنه إذا كان هناك مجسّمان يقعان بين مستويين متوازيين لهما خاصية أن كل مستوى موازٍ للمستويين المعطيين يتقاطعان معًا في مقاطع عرضية متساوية المساحة، فإن المجسمين يكونان متساويين في الحجم. وهي توفر طريقة فعالة لحساب حجوم الأشكال المعقدة دون حساب التفاضل والتكامل.

هذه مشكلة بارزة تاريخياً في الرياضيات. فقد أرسى حلها السلبي من قبل ليونارد أويلر في عام 1736 أسس نظرية الرسم البياني ومهد لفكرة الطوبولوجيا. تساءلت المشكلة عما إذا كان من الممكن اجتياز جسور مدينة كونيغسبرغ السبعة في رحلة واحدة دون العودة إلى الوراء، على أن تنتهي الرحلة على نفس اليابسة التي بدأت بها.

نظرية أساسية في علم الطوبولوجيا والهندسة تنص على أنه بالنسبة لأي متعدد الوجوه محدب، يرتبط عدد الرءوس (V) والأحرف (E) والأوجه (F) بالصيغة [latex]V - E + F = 2[/latex]. هذه القيمة، 2، هي خاصية أويلر للمجسم الكروي، وتكشف عن خاصية طوبولوجية عميقة مستقلة عن الشكل المحدد لمتعدد الأوجه.

معادلة تفاضلية جزئية إهليلجية خطية من الرتبة الثانية تصف الأنظمة في حالة استقرار أو حالة توازن. وهي مكتوبة على الصورة [latex]nabla^2 u = 0[/latex] أو [latex]Delta u = 0[/latex]، حيث [latex]nabla^2[/latex] (أو [latex]Delta[/latex]) هو مشغل لابلاس. الحلول التي تُسمى الدوال التوافقية هي أنعم الدوال الممكنة وتمثل الإمكانات في مجالات مثل الكهرباء الساكنة والجاذبية وسريان الموائع.

تنص نظرية إيجيريوم (وتعني باللاتينية "النظرية الرائعة") على أن الانحناء الغاوسي للسطح خاصية جوهرية. وهذا يعني أنه يعتمد فقط على كيفية قياس المسافات على السطح نفسه، وليس على كيفية تضمين السطح في الفضاء الثلاثي الأبعاد. يمكن لف ورقة مسطحة على شكل أسطوانة ولكن ليس على شكل كرة دون أن تتمدد.